已知函数f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数．（1）求函数F（x）=f（x）f′（x）+f2（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）若f（x）=2f′（x），求1+sin2xcos2x-sinxcosx的值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数．（1）求函数F（x）=f（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-16 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数．
（1）求函数F（x）=f（x）f′（x）+f²（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）若f（x）=2f′（x），求

1+sin2x

cos2x-sinxcosx

的值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：导数的运算

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）因为f（x）=sinx+cosx，所以f'（x）=cosx-sinx，
所以F(x)=(sinx+cosx)(cosx-sinx)+(sinx+cosx)2=cos2x+1+sin2x=

2

sin(2x+

π

4

)+1，
所以T=π；
由2x+

π

4

∈[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

](k∈Z)，得x∈[kπ-

3

8

π，kπ+

π

8

]（k∈Z）
单调递增区间为[kπ-

3

8

π，kπ+

π

8

]（k∈Z）．
（2）由f（x）=2f′（x），得：sinx+cosx=2cosx-2sinx，即tanx=

1

3

所以

1+sin2x

cos2x-sinxcosx

=

2sin2x+cos2x

cos2x-sinxcosx

=

2tan2x+1

1-tanx

=

11

6

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数．（1）求函数F（x）=f（..”的主要目的是检查您对于考点“高中导数的运算”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中导数的运算”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：