集合A是由适合以下性质的函数f（x）构成的：对于定义域内任意两个不相等的实数x1，x2，都有12[f(x1)+f(x2)]＞f(x1+x22)．（1）试判断f（x）=x2及g（x）=log2x是否在集合A中，并说明理由-数学试题及答案

1、试题题目：集合A是由适合以下性质的函数f（x）构成的：对于定义域内任意两个不..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-25 07:30:00

试题原文

集合A是由适合以下性质的函数f（x）构成的：对于定义域内任意两个不相等的实数x₁，x₂，都有

1

2

[f(x1)+f(x2)]＞f(

x1+x2

2

)．
（1）试判断f（x）=x²及g（x）=log₂x是否在集合A中，并说明理由；
（2）设f（x）∈A且定义域为（0，+∞），值域为（0，1），f(1)＞

1

2

，试求出一个满足以上条件的函数f （x）的解析式．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：指数函数模型的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f（x）∈A，g（x）?A．（2分）
对于f（x）∈A的证明．任意x₁，x₂∈R且x₁≠x₂，

f(x1)+f(x2)

2

-f(

x1+x2

2

)=

x12+x22

2

-(

x1+x2

2

)2=

x12-2x1x2+x22

4

=

1

4

(x1-x2)2＞0
即

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)．∴f（x）∈A（3分）
对于g（x）?A，举反例：当x₁=1，x₂=2时，

g(x1)+g(x2)

2

=

1

2

(log21+log22)=

1

2

，
g(

x1+x2

2

)=log2

1+2

2

=log2

3

2

＞log2

2

=

1

2

，
不满足

g(x1)+g(x2)

2

＞g(

x1+x2

2

)．∴g（x）?A．（4分）

（2）函数f(x)=(

2

3

)x，当x∈（0，+∞）时，
值域为（0，1）且f(1)=

2

3

＞

1

2

．（6分）
任取x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁≠x₂，
则

f(x1)+f(x2)

2

-f(

x1+x2

2

)=

1

2

[(

2

3

)x1+(

2

3

)x2-2?(

2

3

)

x1+x2

2

]
=

1

2

{[(

2

3

)

x1

2

]2-2?(

2

3

)

x1

2

?(

2

3

)

x2

2

+[(

2

3

)

x2

2

]2}=

1

2

[(

2

3

)

x1

2

-(

2

3

)

x2

2

]2＞0
即

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)．
∴f(x)=(

2

3

)x∈A．是一个符合条件的函数．（8分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“集合A是由适合以下性质的函数f（x）构成的：对于定义域内任意两个不..”的主要目的是检查您对于考点“高中指数函数模型的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中指数函数模型的应用”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：