已知函数f(x)=x+1-aa-x(a∈R)，（1）证明函数y=f（x）的图象关于点（a，-1）成中心对称图形；（2）当x∈[a+1，a+2]时，求证：f（x）∈[-2，-32]；（3）我们利用函数y=f（x）构造一个数列{xn}，-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=x+1-aa-x(a∈R)，（1）证明函数y=f（x）的图象关于点（a，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-26 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

x+1-a

a-x

(a∈R)，
（1）证明函数y=f（x）的图象关于点（a，-1）成中心对称图形；
（2）当x∈[a+1，a+2]时，求证：f（x）∈[-2，-

3

2

]；
（3）我们利用函数y=f（x）构造一个数列{xn}，方法如下：对于给定的定义域中的x₁，令x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，xn=f（xn-1），…在上述构造数列的过程中，如果xi（i=2，3，4，…）在定义域中，构造数列的过程将继续下去；如果xi不在定义域中，则构造数列的过程停止．
（i）如果可以用上述方法构造出一个常数列{xn}，求实数a的取值范围；
（ii）如果取定义域中任一值作为x₁，都可以用上述方法构造出一个无穷数列{xn}，求实数a的值

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：指数函数模型的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设P（x_o，y_o）是函数y=f（x）图象上一点，则y_o=

xo+1-a

a-xo

，
点P关于（a，-1）的对称点P'（2a-x0，-2-y0）．
∵f(2a-xo)=

2a-x0+1-a

a-2a+x0

=

a-x0+1

x0-a

，-2-yo=

a-x0+1

x0-a

∴-2-y0=f（2a-x0）．即P′点在函数y=f（x）的图象上．
所以，函数y=f（x）的图象关于点（a，-1）成中心对称图形.(2)∵[f(x)+2][f(x)+

3

2

]=

a-x+1

a-x

?

a+2-x

2(a-x)

=

(x-a-1)(x-a-2)

2(a-x)2

.
又x∈[a+1，a+2]，∴（x-a-1）（x-a-2）≤0.2（a-x）²＞0，
∴[f(x)+2][f(x)+

3

2

]≤0，∴-2≤f(x)≤-

3

2

.

（3）（i）根据题意，只需x≠a时，f（x）=x有解.即

x+1-a

a-x

=x有解，
即x2+（1-a）x+1-a=0有不等于a的解
．∴①△＞0或②△=0并且x≠a，
①由△＞0得a＜-3或a＞1，②由△=0得a=-3或a=1，
此时，x分别为-2或0．符合题意．综上，a≤-3或a≥1．
（ii）根据题意，知：x≠a时，

x+1-a

a-x

=a无解，
即x≠a时，（1+a）x=a2+a-1无解，由于x=a不是方程（1+a）x=a2+a-1的解，
所以，对于任意x∈R．（1+a）x=a2+a-1无解．∴a=-1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=x+1-aa-x(a∈R)，（1）证明函数y=f（x）的图象关于点（a，..”的主要目的是检查您对于考点“高中指数函数模型的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中指数函数模型的应用”。

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