已知数列{an}满足a1=a，an+1=12-an．（Ⅰ）依次计算a2，a3，a4，a5；（Ⅱ）猜想an的表达式，并用数学归纳法进行证明．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}满足a1=a，an+1=12-an．（Ⅰ）依次计算a2，a3，a4，a5；..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}满足a1=a，an+1=

1

2-an

．
（Ⅰ）依次计算a₂，a₃，a₄，a₅；
（Ⅱ）猜想a_n的表达式，并用数学归纳法进行证明．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数学归纳法证明不等式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）分别令n=1，2，3，4，得：
a2=

1

2-a

，a3=

1

2-a 2

=

1

2-

1

2-a

=

2-a

3-2a

，
a4=

1

2-a 3

=

1

2-

2-a

3-2a

=

3-2a

4-3a

a5=

1

2-a 4

=

1

2-

3-2a

4-3a

=

4-3a

5-4a

．
（II）由此，猜想 an=

(n-1)-(n-2)a

n-(n-1)a

下面用数学归纳法证明此结论正确．
证明：（1）当n=1时，显然结论成立
（2）假设当n=k（k≥1）时，结论成立，即 ak=

(k-1)-(k-2)a

k-(k-1)a

那么ak+1=

1

2-a k

=

1

2-

k-1-(k-2)a

k-(k-1)a

=

k-(k-1)a

k+1-ka

，
也就是说，当n=k+1时结论成立．
根据（1）和（2）可知，结论对任意正整数n都成立，即 an=

(n-1)-(n-2)a

n-(n-1)a

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}满足a1=a，an+1=12-an．（Ⅰ）依次计算a2，a3，a4，a5；..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法证明不等式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法证明不等式”。

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