如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2，AB=1，∠ABC=90°；点D、E分别在BB1，A1D上，且B1E⊥A1D，四棱锥C-ABDA1与直三棱柱的体积之比为3：5．（1）求异面直线DE与B1C1的距离；（2）若-数学试题及答案

1、试题题目：如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2，AB=1，∠ABC=90°；点D、E分..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-03 07:30:00

试题原文

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=2，AB=1，∠ABC=90°；点D、E分别在BB₁，A₁D上，且B₁E⊥A₁D，四棱锥C-ABDA₁与直三棱柱的体积之比为3：5．
（1）求异面直线DE与B₁C₁的距离；
（2）若BC=

2

，求二面角A₁-DC₁-B₁的平面角的正切值．

试题来源：重庆试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：柱体、椎体、台体的表面积与体积

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）因B₁C₁⊥A₁B₁，且B₁C₁⊥BB₁，故B₁C₁⊥面A₁ABB₁，
从而B₁C₁⊥B₁E，又B₁E⊥DE，故B₁E是异面直线B₁C₁与DE的公垂线
设BD的长度为x，则四棱椎C-ABDA₁的体积V₁为V1=

1

3

SABDA1?BC=

1

6

(DB+A1A)?AB?BC=

1

6

(x+2)?BC
而直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积V₂为V2=S△ABC?AA1=

1

2

AB?BC?AA1=BC
由已知条件V₁：V₂=3：5，故

1

6

(x+2)=

3

5

，解之得x=

8

5

从而B1D=B1B-DB=2-

8

5

=

2

5

在直角三角形A₁B₁D中，A1D=

A1B12+B1D2

=

1+(

2

5

)2

=

29

5

，
又因S△A1B1D=

1

2

A1D?B1E=

1

2

A1B1?B1D，
故B1E=

A1B1?B1D

A1D

=

2

29

（Ⅱ）如图1，过B₁作B₁F⊥C₁D，垂足为F，连接A₁F，因A₁B₁⊥B₁C₁，A₁B₁⊥B₁D，故A₁B₁⊥面B₁DC₁．
由三垂线定理知C₁D⊥A₁F，故∠A₁FB₁为所求二面角的平面角
在直角△C₁B₁D中，C1D=

B1C12+B1D2

=

2+(

2

5

)2

=

3

6

5

，
又因S△C1B1D=

1

2

C1D?B1F=

1

2

B1C1?B1D，
故B1F=

B1C1?B1D

C1D

=

2

3

9

，所以tanA1FB1=

A1B1

B1F

=

3

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2，AB=1，∠ABC=90°；点D、E分..”的主要目的是检查您对于考点“高中柱体、椎体、台体的表面积与体积”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中柱体、椎体、台体的表面积与体积”。

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