椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)与直线x+y-1=0相交于P、Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点）．（Ⅰ）求证：1a2+1b2等于定值；（Ⅱ）当椭圆的离心率e∈[33，22]时，求椭圆长轴长的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)与直线x+y-1=0相交于P、Q两点..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-05 07:30:00

试题原文

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)与直线x+y-1=0相交于P、Q两点，且

OP

⊥

OQ

（O为坐标原点）．
（Ⅰ）求证：

1

a2

+

1

b2

等于定值；
（Ⅱ）当椭圆的离心率e∈[

3

，

2

]时，求椭圆长轴长的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：

b2x2+a2y2=a2b2

x+y-1=0

消去y得（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0
△=4a⁴-4（a²+b²）a²（1-b²）＞0，a²+b²＞1
设点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则x1+x2=

2a2

a2+b2

，x1x2=

a2(1-b2)

a2+b2

，
由

OP

?

OQ

=0，x₁x₂+y₁y₂=0，
即x₁x₂+（1-x₁）（1-x₂）=0
化简得2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0，
则

2a2(1-b2)

a2+b2

-

2a2

a2+b2

+1=0
即a²+b²=2a²b²，故

1

a2

+

1

b2

=2
（Ⅱ）由e=

c

a

，b2=a2-c2，a2+b2=2a2b2
化简得a2=

2-e2

2(1-e2)

=

1

2

+

1

2(1-e2)

由e∈[

3

，

2

]得a2∈[

5

4

，

3

2

]，
即a∈[

5

2

，

6

2

]
故椭圆的长轴长的取值范围是[

5

，

6

]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)与直线x+y-1=0相交于P、Q两点..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”。

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