如图，F为椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦点，P为椭圆上一点，O为原点，记△OFP的面积为S，且OF?FP=1．（1）设12＜S＜32，求向量OF与FP夹角的取值范围．（2）设|OF|=c，S=34c，当c≥2时，-数学试题及答案

1、试题题目：如图，F为椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦点，P为椭圆上一点，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-05 07:30:00

试题原文

如图，F为椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦点，P为椭圆上一点，O为原点，记△OFP的面积为S，且

OF

?

FP

=1．
（1）设

1

2

＜S＜

3

2

，求向量

OF

与

FP

夹角的取值范围．
（2）设|

OF

|=c，S=

3

4

c，当c≥2时，求当|

OP

|取最小值时的椭圆方程．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设

OF

与

FP

的夹角为θ，由题意得

OF

?

FP

=|

OF

|?|

FP

|cosθ=1，S=

1

2

|

OF

|?|

FP

|sin(π-θ)…（2分）
两式相除可得tanθ=2S，又

1

2

＜S＜

3

2

，所以1＜tanθ＜

3

…（2分）
所以向量

OF

与

FP

夹角的取值范围是45°＜θ＜60°…（1分）
（2）设P（x₀，y₀），F（c，0），所以

OF

=(c，0)，

FP

=(x0-c，y0)，
所以

OF

?

FP

=c(x0-c)=1，即x0=c+

1

c

…（1分）
所以S=

1

2

c|y0|=

3

4

c，|y0|=

3

2

…（1分）
所以|

OP

|=

x

20

+

y

20

=

(c+

1

c

)2+

9

4

…（2分）
由单调性可知当c=2时有最小值，此时x0=

5

2

，…1分|y₀|=3，此时F₁（-2，0），F₂（2，0），所以2a=PF1+PF2=

(

5

2

+2)2+

9

4

+

(

5

2

-2)2+

9

4

=2

10

…（2分）
所以椭圆方程为

x2

10

+

y2

6

=1…（2分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，F为椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦点，P为椭圆上一点，..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：