椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），A1、A2、B1、B2分别为椭圆C的长轴与短轴的端点．（1）设点M（x0，0），若当且仅当椭圆C上的点P在椭圆长轴顶点A1、A2处时，|PM|取得最大值与最小值，求-数学试题及答案

1、试题题目：椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），A1、A2、B1、B2分别为椭..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-05 07:30:00

试题原文

椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），A₁、A₂、B₁、B₂分别为椭圆C的长轴与短轴的端点．
（1）设点M（x₀，0），若当且仅当椭圆C上的点P在椭圆长轴顶点A₁、A₂处时，|PM|取得最大值与最小值，求x₀的取值范围；
（2）若椭圆C上的点P到焦点距离的最大值为3，最小值为l，且与直线l：y=kx+m相交于A，B两点（A，B不是椭圆的左右顶点），并满足AA₂⊥BA₂．试研究：直线l是否过定点？若过定点，请求出定点坐标，若不过定点，请说明理由．

试题来源：闸北区二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设P（x，y）且

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
则f(x)=|PM|2=(x-x0)2+y2=

c2

a2

x2-2x0x+x02+b2，则对称轴方程为x=

a2

c2

x0，
由题意只有当

a2x0

c2

≥a或

a2x0

c2

≤-a时满足题意，所以x0≥

c2

a

或x0≤-

c2

a

故x₀的取值范围是(-∞，-

c2

a

]∪[

c2

a

，+∞)．
（2）因为|c|＞

c2

a

所以由（1）得：a+c=3，a-c=1，∴a=2，c=1，∴b²=a²-c²=3．
∴椭圆的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立

y=kx+m

x2

4

+

y2

3

=1

得（3+4k²）x²+8mkx+4（m²-3）=0，

△=64m2k2-16(3+4k2)(m2-3)＞0

x1+x2=

8mk

3+4k2

x1x2=

4(m2-3)

3+4k2

又y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+mk（x₁+x₂）+m²=

3(m2-4k2)

3+4k2

，
因为椭圆的右顶点为A₂（2，0），∴kAA2kBA2=-1，即

y1

x1-2

y21

x2-2

=-1，
y₁y₂+x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0，
∴

3(m2-4k2)

3+4k2

+

4(m2-3)

3+4k2

+

16mk

3+4k2

+4=0，∴7m²+16mk+4k²=0．
解得：m₁=-2k，m₂=-

2k

7

，且均满足3+4k²-m²＞0，
当m₁=-2k时，l的方程为y=k（x-2），直线过定点（2，0），与已知矛盾；
当m₂=-

2k

7

时，l的方程为y=k（x-

2

7

），直线过定点（

2

7

，0）．
所以，直线l过定点，定点坐标为（

2

7

，0）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），A1、A2、B1、B2分别为椭..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：