已知抛物线y2=2px经过点M（2，-22），椭圆x2a2+y2b2=1的右焦点恰为抛物线的焦点，且椭圆的离心率为12．（1）求抛物线与椭圆的方程；（2）若P为椭圆上一个动点，Q为过点P且垂直于x轴-数学试题及答案

1、试题题目：已知抛物线y2=2px经过点M（2，-22），椭圆x2a2+y2b2=1的右焦点恰为..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

已知抛物线y²=2px经过点M（2，-2

2

），椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的右焦点恰为抛物线的焦点，且椭圆的离心率为

1

2

．
（1）求抛物线与椭圆的方程；
（2）若P为椭圆上一个动点，Q为过点P且垂直于x轴的直线上一点，

|OP|

|OQ|

=λ（λ≠0），试求点Q的轨迹．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵抛物线y²=2px经过点M（2，-2

2

），
∴8=4p，∴p=2
∴抛物线的方程为y²=4x，其焦点为F（1，0），∴c=1
∵椭圆的离心率为

1

2

，
∴a=2
∴b²=a²-c²=3
∴椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）设Q（x，y），x∈[-2，2]，设P（x，y₀），则

x2

4

+

y02

3

=1
∴y02=3-

3

4

x2
∵

|OP|

|OQ|

=λ（λ≠0），
∴

x2+3-

3

4

x2

x2+y2

=λ2
∴(λ2-

1

4

)x2+λ2y2=3，x∈[-2，2]，
①λ²=

1

4

，即λ=

1

2

时，点Q的轨迹方程为y=±2

3

，x∈[-2，2]，轨迹是两条平行于x轴的线段；
②λ²＜

1

4

，即0＜λ＜

1

2

时，轨迹表示实轴在y轴上的双曲线满足x∈[-2，2]的部分；
③λ²＞

1

4

，即λ＞

1

2

时，轨迹表示长轴在x轴上的椭圆满足x∈[-2，2]的部分．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知抛物线y2=2px经过点M（2，-22），椭圆x2a2+y2b2=1的右焦点恰为..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：