一束光线从点F1（-1，0）出发，经直线l：2x-y+3=0上一点D反射后，恰好穿过点F2（1，0），（1）求以F1、F2为焦点且过点D的椭圆C的方程；（2）从椭圆C上一点M向以短轴为直径的圆引两条切-数学试题及答案

1、试题题目：一束光线从点F1（-1，0）出发，经直线l：2x-y+3=0上一点D反射后，恰..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

一束光线从点F₁（-1，0）出发，经直线l：2x-y+3=0上一点D反射后，恰好穿过点F₂（1，0），
（1）求以F₁、F₂为焦点且过点D的椭圆C的方程；
（2）从椭圆C上一点M向以短轴为直径的圆引两条切线，切点分别为A、B，直线AB与x轴、y轴分别交于点P、Q．求|PQ|的最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设点F₁关于直线l：2x-y+3=0的对称点A（m，n），
则

n

m+1

=-

1

2

2?

m-1

2

-

n

2

+3=0

，
解得

m=-

9

5

n=

2

5

，
则A（-

9

5

，

2

5

）
∵|PF₁|=|PA|，根据椭圆的定义，得2a=|PF₁|+|PF₂|=|AF₂|=

(-

9

5

-1)2+(

2

5

-0)2

=2

2

，
∴a=

2

，c=1，b=

2-1

=1．
∴椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1．

（2）设M（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则

x

20

2

+

y

20

=1，切线AM、BM方程分别为x₁x+y₁y=1，x₂x+y₂y=1，
∵切线AM、BM都经过点M（x₀，y₀），
∴x₁x₀+y₁y₀=1，x₂x₀+y₂y₀=1．
∴直线AB方程为x₀x+y₀y=1，
∴P(0，

1

y0

)、Q(

1

x0

，0)，
|PQ|2=

1

x

20

+

1

y

20

=(

1

x

20

+

1

y

20

)(

x

20

2

+

y

20

)=

1

2

+1+

x

20

2

y

20

+

y

20

x

20

≥

3

2

+

2

=(

2

+1

2

)2，
当且仅当

x

20

=

2

y

20

时，上式等号成立．
∴|PQ|的最小值为

2+

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“一束光线从点F1（-1，0）出发，经直线l：2x-y+3=0上一点D反射后，恰..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：