已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为12．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN为直径的圆过椭圆C的右-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为12．..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为

1

2

．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，求直线l的方程．

试题来源：房山区二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由已知2a=4，

c

a

=

1

2

．解得a=2，c=1，所以b²=a²-c²=3，
故椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．…（5分）
（Ⅱ）由M，N不与椭圆的顶点重合，设直线l的方程为y=kx-2，代入椭圆方程可得（4k²+3）x²-16kx+4=0，
由△=（-16k）²-16（4k²+3）=12k²-3＞0，得k＜-

1

2

或k＞

1

2

…（8分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=

16k

4k2+3

，x₁x₂=

4

4k2+3

，y₁y₂=

-28k2

4k2+3

+4
由（Ⅰ）得椭圆C的右顶点A（2，0），
因为以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，
所以k_AMk_AN=-1，
∴

y1

x1-2

?

y2

x2-2

=-1，
∴y₁y₂+x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0，
∴

-28k2

4k2+3

+4+

4

4k2+3

-

32k

4k2+3

+4=0，
∴k²-8k+7=0，解得k=7或k=1
当k=1时，l：y=x-2，直线过椭圆C的右顶点A（2，0），舍去；
当k=7时，l：y=7x-2．
综上可知，直线l的方程是y=7x-2 …（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为12．..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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