已知向量p=（-cos2x，a），q=（a，2-3sin2x），函数f（x）=p?q-5（a∈R，a≠0）．（1）求函数f（x）（x∈R）的值域；（2）当a=2时，若对任意的t∈R，函数y=f（x），x∈（t，t+b]的图象与直线y=-1有且仅-数学试题及答案

1、试题题目：已知向量p=（-cos2x，a），q=（a，2-3sin2x），函数f（x）=p?q-5（a∈R，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-10 07:30:00

试题原文

已知向量

p

=（-cos 2x，a），

q

=（a，2-

3

sin 2x），函数f（x）=

p

?

q

-5（a∈R，a≠0）．
（1）求函数f（x）（x∈R）的值域；
（2）当a=2时，若对任意的t∈R，函数y=f（x），x∈（t，t+b]的图象与直线y=-1有且仅有两个不同的交点，试确定b的值（不必证明），并求函数y=f（x）的在[0，b]上单调递增区间．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：正弦、余弦函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f（x）=

p

?

q

-5=-acos2x-

3

asin2x+2a-5=-2asin(2x+

π

6

)+2a-5．…（2分）
因为x∈R，所以-1≤sin(2x+

π

6

)≤1
当a＞0时，-2a×1+2a-5≤f（x）≤-2a×（-1）+2a-5．
所以f（x）的值域为[-5，4a-5]．…（4分）
同理，当a＜0时，f（x）的值域为[4a-5，-5]．…（6分）
（2）当a=2时，y=f(x)=-4sin(2x+

π

6

)-1，由题设函数y=f（x），x∈（t，t+b]的图象与直线y=-1有且仅有两个不同的交点及函数y=f（x）的最小正周期为π可知，b的值为π．…（8分）
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，得

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+kπ，k∈Z．…（10分）
因为x∈[0，π]，所以k=0，
∴函数y=f（x）在[0，π]上的单调递增区间为[

π

6

，

2π

3

]．…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知向量p=（-cos2x，a），q=（a，2-3sin2x），函数f（x）=p?q-5（a∈R，..”的主要目的是检查您对于考点“高中正弦、余弦函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中正弦、余弦函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等）”。

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