已知数列{an}满足a1+a2+…+an=n2（n∈N*），（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）对任意给定的k∈N*，是否存在p，r∈N*（k＜p＜r），使成等差数列？若存在，用k分别表示p和r（只要写出一组）；若-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}满足a1+a2+…+an=n2（n∈N*），（Ⅰ）求数列{an}的通项公式..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-07 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}满足a₁+a₂+…+a_n=n²（n∈N*），
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）对任意给定的k∈N*，是否存在p，r∈N*（k＜p＜r），使

成等差数列？若存在，用k分别表示p和r（只要写出一组）；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其边长为

。

试题来源：江苏模拟题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：高中考察重点：等差数列的通项公式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（Ⅰ）当n=1时，a₁=1；
当n≥2，n∈N*时，a₁+a₂+…+a_n-1=（n-1）²，
所以a_n=n²-（n-1）²=2n-1；
综上所述，a_n=2n-1（n∈N*）。
（Ⅱ）当k=1时，若存在p，r使

成等差数列，
则

，
因为p≥2，所以a_r＜0，与数列{a_n}为正数相矛盾，
因此，当k=1时不存在；
当k≥2时，设a_k=x，a_p=y，a_r=z，则

，
所以

，
令y=2x-1，得z=xy=x（2x-1），
此时a_k=x=2k-1，a_p=y=2x-1=2（2k-1）-1，
所以p=2k-1，a_r=z=（2k-1）（4k-3）=2（4k²-5k+2）-1，
所以r=4k²-5k+2；
综上所述，当k=1时，不存在p，r；
当k≥2时，存在p=2k-1，r=4k²-5k+2满足题设；
（Ⅲ）作如下构造：

，其中k∈N*，
它们依次为数列{a_n}中的第2k²+6k+5项，第2k²+8k+8项，第2k²+10k+13项，
显然它们成等比数列，且

，
所以它们能组成三角形，
由k∈N*的任意性，这样的三角形有无穷多个。
下面用反证法证明其中任意两个三角形A₁B₁C₁和A₂B₂C₂（k₁≠k₂）不相似；
若三角形A₁B₁C₁和A₂B₂C₂相似，
则

，
整理得

，所以k₁=k₂，
这与条件k₁≠k₂相矛盾，
因此，任意两个三角形不相似；
故命题成立。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}满足a1+a2+…+an=n2（n∈N*），（Ⅰ）求数列{an}的通项公式..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的通项公式”。

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