已知数列{an}和{bn}满足：（1）a1＜0，b1＞0；（2）当ak-1+bk-12≥0时ak=ak-1，bk=ak-1+bk-12；当ak-1+bk-12＜0时，ak=ak-1+bk-12，bk=bk-1（k≥2，k∈N*）．（Ⅰ）如果a1=-3，b1=7，试求a2，-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}和{bn}满足：（1）a1＜0，b1＞0；（2）当ak-1+..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-08 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}和{b_n}满足：
（1）a₁＜0，b₁＞0；
（2）当

ak-1+bk-1

2

≥0时a_k=a_k-1，bk=

ak-1+bk-1

2

；当

ak-1+bk-1

2

＜0时，ak=

ak-1+bk-1

2

，b_k=b_k-1（k≥2，k∈N^*）．
（Ⅰ）如果a₁=-3，b₁=7，试求a₂，b₂，a₃，b₃；
（Ⅱ）证明：数列{b_n-a_n}是一个等比数列；
（Ⅲ）设n（n≥2）是满足b₁＞b₂＞b₃＞…＞b_n的最大整数，证明n＞log2

a1-b1

a1

．

试题来源：中山市三模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）因为

a1+b1

2

=2＞0，所以a₂=a₁=-3，b2=

a1+b1

2

=2
因为

a2+b2

2

=-

1

2

＜0，所以a3=

a2+b2

2

=-

1

2

，b₃=b₂=2
（2）证明：当

ak-1+bk-1

2

≥0时，bk-ak=

ak-1+bk-1

2

-ak-1=

bk-1-ak-1

2

；
当

ak-1+bk-1

2

＜0时，bk-ak=bk-1-

ak-1+bk-1

2

=

bk-1-ak-1

2

因此不管哪种情况，都有bk-ak=

bk-1-ak-1

2

，所以数列{b_n-a_n}是首项为b₁-a₁，
公比为

1

2

的等比数列
（3）证明：由（2）可得bn-an=(b1-a1)(

1

2

)n-1
因为b₁＞b₂＞b₃＞…＞b_n（n≥2），所以b_k≠b_k-1（2≤k≤n），
所以

ak-1+bk-1

2

＜0不成立，所以

ak-1+bk-1

2

≥0
此时对于2≤k≤n，都有a_k=a_k-1，bk=

ak-1+bk-1

2

，
于是a₁=a₂=…=a_n，所以bn=a1+(b1-a1)(

1

2

)n-1
若

an+bn

2

≥0，则bn+1=

an+bn

2

，bn+1=a1+(b1-a1)(

1

2

)n
所以bn+1-bn=[a1+(b1-a1)(

1

2

)n]-[a1+(b1-a1)(

1

2

)n-1]=-(b1-a1)(

1

2

)n＜0，
所以b_n＞b_n+1，这与n是满足b₁＞b₂＞b₃＞…＞b_n（n≥2）的最大整数相矛盾，
因此n是满足

an+bn

2

＜0的最小整数．

an+bn

2

＜0?a1+(b1-a1)(

1

2

)n＜0?

b1-a1

-a1

＜2n?log2

a1-b1

a1

＜n，命题获证

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}和{bn}满足：（1）a1＜0，b1＞0；（2）当ak-1+..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：