设数列{an}的前n项和为Sn，且满足S1=2，Sn+1=3Sn+2（n=1，2，3，…）．（Ⅰ）证明数列{an}是等比数列并求通项an；（Ⅱ）求数列{nan}的前n项和Tn．-数学试题及答案

1、试题题目：设数列{an}的前n项和为Sn，且满足S1=2，Sn+1=3Sn+2（n=1，2，3，…..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-08 07:30:00

试题原文

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S₁=2，Sn+1=3Sn+2（n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）证明数列{a_n}是等比数列并求通项a_n；
（Ⅱ）求数列{na_n}的前n项和T_n．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（Ⅰ）∵S_n+1=3S_n+2，
∴S_n=3S_n-1+2（n≥2）
两式相减得a_n+1=3a_n（n≥2）
∵S₁=2，S_n+1=3S_n+2
∴a₁+a₂=3a₁+2即a₂=6则

a2

a1

=3
∴

an+1

an

=3（n≥1）
∴数列{a_n}是首项为2，公比为3的等比数列
∴a_n=2×3^n-1（n=1，2，3，…）．
（Ⅱ）∵T_n=1?a₁+2?a₂+…+na_n=1×2+2×2×3¹+…+n×2×3^n-1，
∴3T_n=1×2×3+2×2×3²+…+（n-1）×2×3^n-1+n×2×3ⁿ，（9分）
∴-2T_n=2（1+3+3²+…3^n-1）-n×2×3ⁿ=2×

3n-1

3-1

-n×2×3ⁿ=3ⁿ（1-2n）-1（11分）
∴Tn=

(2n-1)3n+1

2

（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设数列{an}的前n项和为Sn，且满足S1=2，Sn+1=3Sn+2（n=1，2，3，…..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

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