已知f(x)=loga1+x1-x(其中a＞0且a≠1)，定义域为（-1，1）．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）函数f（x）的零点是否存在？若存在，试求出其零点；若不存在，请说明理由．（3）讨论f（x）函数的单调-数学试题及答案

1、试题题目：已知f(x)=loga1+x1-x(其中a＞0且a≠1)，定义域为（-1，1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-27 07:30:00

试题原文

已知f(x)=loga

1+x

1-x

(其中a＞0且a≠1)，定义域为（-1，1）．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）函数f（x）的零点是否存在？若存在，试求出其零点；若不存在，请说明理由．
（3）讨论f（x）函数的单调性．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵函数f（x）的定义域为（-1，1），它关于原点对称，
又f（-x）=loga

1-x

1+x

=loga(

1+x

1-x

)-1=-loga

1+x

1-x

=-f（x），
所以函数f（x）是奇函数；
（2）令f（x）=loga

1+x

1-x

=0?

1+x

1-x

=1?1+x=1-x?x=0，
又0∈（-1，1），
故f（x）有零点0；
（3）设-1＜x₁＜x₂＜1，
则f（x₁）-f（x₂）=loga

1+x1

1-x1

-loga

1+x2

1-x2

=loga(

1-x2

1-x1

?

1+x1

1+x2

)，
∵-1＜x₁＜x₂＜1，∴0＜1-x₂＜1-x₁＜2，0＜1+x₁＜1+x₂＜2，
∴0＜

1-x2

1-x1

＜1，0＜

1+x1

1+x2

＜1，
∴0＜

1-x2

1-x1

?

1+x1

1+x2

＜1，
当0＜a＜1时，f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴函数f（x）是在定义域上减函数．
当a＞1时，f（x₁）-f（x₂）＜0，函数f（x）在定义域上是增函数．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f(x)=loga1+x1-x(其中a＞0且a≠1)，定义域为（-1，1..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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