关于x的方程2x2-tx-2=0的两根为α，β（α＜β），函数f（x）=4x-tx2+1.（1）求f（α）和f（β）的值．（2）证明：f（x）在[α，β]上是增函数．（3）对任意正数x1．x2，求证：|f(x1α+x2βx1+x2)-f(x1β+x2α-数学试题及答案

1、试题题目：关于x的方程2x2-tx-2=0的两根为α，β（α＜β），函数f（x）=4x-tx2+1.（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-01 07:30:00

试题原文

关于x的方程2x²-tx-2=0的两根为α，β（α＜β），函数f（x）=

4x-t

x2+1

.
（1）求f（α）和f（β）的值．
（2）证明：f（x）在[α，β]上是增函数．
（3）对任意正数x₁．x₂，求证：|f(

x1α+x2β

x1+x2

)-f(

x1β+x2α

x1+x2

)|＜2|α-β|（文科不做）

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由根与系数的关系得，α+β=

t

2

，αβ=-1.
∴f(α)=

4α-t

α2+1

=

4α-2(α+β)

α2-αβ

=

2

α

=

8

t-

t2+16

=-

1

2

(t+

t2+16

).
同法得f（β)=

1

2

(

t2+16

-t).（4分）（文科7分）
（2）证明：∵f^/（x）=

4(x2+1)-(4x-t)2x

(x2+1)2

=

-2(2x2-tx-2)

(x2+1)2

，而当x∈[α，β]时，
2x²-tx-2=2（x-α）（x-β）≤0，
故当x∈[α，β]时，f^/（x）≥0，
∴函数f（x）在[α，β]上是增函数．（9分）（文科14分）
（3）证明：

x1α+x2β

x1+x2

-α=

x2(β-α)

x1+x2

＞0，

x1α+x2β

x1+x2

-β=

x1(α-β)

x1+x2

＜0，
∴α＜

x1α+x2β

x1+x2

＜β，
同理α＜

x1β+x2α

x1+x2

＜β．
∴f(α)＜f(

x1β+x2α

x1+x2

)＜f(β)，故-f(β)＜-f(

x1β+x2α

x1+x2

)＜-f(α).（11分）
又f（α)＜f(

x1α+x2β

x1+x2

)＜f(β).两式相加得：-[f(β)-f(α)]＜f(

x1α+x2β

x1+x2

)-f(

x1β+x2α

x1+x2

)＜f(β)-f(α)，
即|f(

x1α+x2β

x1+x2

)-f(

x1β+x2α

x1+x2

)|＜f(β)-f(α).（13分）
而由（1），f（α）=-2β，f（β）=-2α且f（β）-f（α）=|f（β）-f（α）|，
∴|f(

x1α+x2β

x1+x2

)-f(

x1β+x2α

x1+x2

)|＜2|α-β|．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“关于x的方程2x2-tx-2=0的两根为α，β（α＜β），函数f（x）=4x-tx2+1.（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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