设函数f（x）=|1-1x|（x＞0），证明：当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，ab＞1．-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=|1-1x|（x＞0），证明：当0＜a＜b，且f（a）=f（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-01 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=|1-

1

x

|（x＞0），证明：当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，ab＞1．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：方法一：由师意f（a）=f（b）?|1-

1

a

|=|1-

1

b

|?（1-

1

a

）²=（1-

1

b

）²?2ab=a+b≥2

ab

故ab-

ab

≥0，即

ab

（

ab

-1）≥0，故

ab

-1≥0，故ab＞1．
方法二：不等式可以变为f（x）=

1

x

-1 x∈(0，1]

1-

1

x

x∈(1，+∞).

对函数进行分析知f（x）在（0，1]上是减函数，在（1，+∞）上是增函数．
由0＜a＜b且f（a）=f（b），得0＜a＜1＜b且

1

a

-1=1-

1

b

，
即

1

a

+

1

b

=2?a+b=2ab≥2

ab

故ab-

ab

≥0，即

ab

（

ab

-1）≥0，
故

ab

-1≥0，即ab＞1

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=|1-1x|（x＞0），证明：当0＜a＜b，且f（a）=f（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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