设a为实数，函数f(x)=a1-x2+1+x+1-x的最大值为g（a）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）设t=1+x+1-x，把函数f（x）表示为t的函数h（t），并写出定义域；（3）求g（a），并求当a＞-12时满足g(a-数学试题及答案

1、试题题目：设a为实数，函数f(x)=a1-x2+1+x+1-x的最大值为g（a）．（1）求函数f（x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-01 07:30:00

试题原文

设a为实数，函数f(x)=a

1-x2

+

1+x

+

1-x

的最大值为g（a）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）设t=

1+x

+

1-x

，把函数f（x）表示为t的函数h（t），并写出定义域；
（3）求g（a），并求当a＞-

1

2

时满足g(a)=g(

1

a

)的实数a的取值集合．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意得

1-x2≥0

1+x≥0

1-x≥0

得

-1≤x≤1

x≥-1

x≤1

∴函数f（x）的定义域为[-1，1]．（4分）
（2）由t=

1+x

+

1-x

平方得t2=2+2

1-x2

．由x∈[-1，1]得，t²∈[2，4]，
所以t的取值范围是[

2

，2]．
又

1-x2

=

1

2

t2-1，∴h(t)=a(

1

2

t2-1)+t．
即h(t)=

1

2

at2+t-a，定义域为[

2

，2]．（8分）
（3）由题意知g（a）即为函数h(t)=

1

2

at2+t-a，t∈[

2

，2]的最大值．
注意到直线t=-

1

a

是抛物线h(t)=

1

2

at2+t-a的对称轴，分以下几种情况讨论：
①当a＞0时，函数y=h(t)，t∈[

2

，2]的图象是开口向上的抛物线的一段，
由t=-

1

a

＜0知y=h（t）在[

2

，2]上单调递增，∴g（a）=h（2）=a+2．
②当a=0时，h（t）=t，t∈[

2

，2]，∴g（a）=h（2）=2．
③当a＜0时，函数y=h(t)，t∈[

2

，2]的图象是开口向下的抛物线的一段，t=-

1

a

＞0．
a若t=-

1

a

∈(0，

2

)，即a＜-

2

时，则g(a)=h(

2

)=

2

；
b若t=-

1

a

∈[

2

，2]，即-

2

≤a≤-

1

2

时，则g(a)=h(-

1

a

)=-a-

1

2a

；
c若t=-

1

a

∈(2，+∞)，即-

1

2

＜a＜0时，则g（a）=h（2）=a+2；
综上有g(a)=

a+2 a＞-

1

2

-a-

1

2a

-

2

≤a≤-

1

2

a＜-

2

．（14分）
当a＞0时，

1

a

＞0，g(

1

a

)=

1

a

+2，由g(a)=g(

1

a

)得，a+2=

1

a

+2，a=±1．∴a=1．
当-

1

2

＜a＜0时，

1

a

＜-2，此时g(a)=a+2，g(

1

a

)=

2

，由a+2=

2

解得a=

2

-2与a＞-

1

2

矛盾．
∴满足g(a)=g(

1

a

)的所有实数a的取值集合是：{1}．（18分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设a为实数，函数f(x)=a1-x2+1+x+1-x的最大值为g（a）．（1）求函数f（x..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：