记函数f（x）的定义域为D，若存在x0∈D，使f（x0）=x0成立，则称以（x0，y0）为坐标的点是函数f（x）的图象上的“稳定点”．（1）若函数f(x)=3x-1x+a的图象上有且只有两个相异的“稳定点”，-数学试题及答案

1、试题题目：记函数f（x）的定义域为D，若存在x0∈D，使f（x0）=x0成立，则称以（x0..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-05 07:30:00

试题原文

记函数f（x）的定义域为D，若存在x₀∈D，使f（x₀）=x₀成立，则称以（x₀，y₀）为坐标的点是函数f（x）的图象上的“稳定点”．
（1）若函数f(x)=

3x-1

x+a

的图象上有且只有两个相异的“稳定点”，试求实数a的取值范围；
（2）已知定义在实数集R上的奇函数f（x）存在有限个“稳定点”，求证：f（x）必有奇数个“稳定点”．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）（x₁≠x₂）是函数f(x)=

3x-1

x+a

的图象上的两个“稳定点”，
则

3x1-1

x1+a

=x1

3x2-1

x2+a

=x2

，即有x12+(a-3)x1+1=0(x1≠-a)，x22+(a-3)x2+1=0(x2≠-a)，
∴x₁，x₂是方程x²+（a-3）x+1=0（x≠-a）的两根，
∴方程x²+（a-3）x+1=0有两个相异的实根且不等于-a，
∴

△=(a-3)2-4×1＞0

(-a)2+(a-3)(-a)+1≠0

，解得a＞5或a＜1且a≠-

1

3

，
∴a的取值范围是（-∞，-

1

3

）∪（-

1

3

，1）∪（5，+∞；
（2）∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（0）=0，∴原点（0，0）是函数f（x）的“稳定点”，
若f（x）还有“稳定点”（x₀，y₀），
则由f（x）为奇函数，得f（-x₀）=-f（x₀）且f（x₀）=x₀，
∴f（-x₀）=-x₀，
这说明：（-x₀，-x₀）也是f（x）的“稳定点”．
综上所述可知，f（x）图象上的“稳定点”除原点外是成对出现的，而且原点也是其“稳定点”，
所以它的“稳定点”的个数为奇数．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“记函数f（x）的定义域为D，若存在x0∈D，使f（x0）=x0成立，则称以（x0..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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