设函数f（x）是定义在x∈[-1，1]上的偶函数，函数g（x）的图象与f（x）的图象关于直线x=1对称，且当x∈[2，3]时，g（x）=2a（x-2）-4（x-2）3①求f（x）的解析式；②是否存在正整数a，使f（x）的-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）是定义在x∈[-1，1]上的偶函数，函数g（x）的图象与f（x）的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-05 07:30:00

试题原文

设函数f（x）是定义在x∈[-1，1]上的偶函数，函数g（x）的图象与f（x）的图象关于直线x=1对称，且当x∈[2，3]时，g（x）=2a（x-2）-4（x-2）³
①求f（x）的解析式；
②是否存在正整数a，使f（x）的最大值为12？若存在求出a的值，若不存在说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设f（x）的图象上任意点（x，f（x）），
它关于直线x=1的对称点（2-x，f（x））在g（x）的图象上，
当x∈[-1，0]时，2-x∈[2，3]，且g（x）=2a（x-2）-4（x-2）³，
∴f（x）=g（2-x）=-2ax+4x³，
当x∈（0，1]时，-x∈[-1，0），∴f（-x）=2ax-4x³，
又∵f（x）是定义在x∈[-1，1]上的偶函数，
∴f（x）=2ax-4x³，
则f(x)=

-2ax+4x3 (-1≤x≤0)

2ax-4x3 (0＜x≤1)

，
（2）假设存在正整数a，使函数f（x）的最大值为12，
又f（x）为偶函数，故只需研究函数f（x）=2ax-4x³在x∈（0，1]的最大值
令f′（x）=2a-12x²=0，得x=

a

6

(a＞0)，
若

a

b

∈(0，1]，即0＜a≤6

时：

x∈(0，

a

6

]，f′(x)＞0，f(x)

单调递增，

x∈(

a

6

，1]，f′(x)＜0，f(x)

单调递减，
则

[f(x)]max=f(

a

6

)=2a×

a

6

-4(

a

6

)3＜2a×

a

6

≤12

故此时不存在符合题意的a，
若

a

6

＞1，即a＞6

时，f′（x）＞0在（0，1]上恒成立，
则f（x）在（0，1]上单调递增，
∴

[f(x)]max=f(1)=2a-4

，
令2a-4=12，得a=8，
综上，存在a=8满足题意．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）是定义在x∈[-1，1]上的偶函数，函数g（x）的图象与f（x）的..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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