设直线l：y=g（x），曲线S：y=F（x）．若直线l与曲线S同时满足下列两个条件：①直线l与曲线S相切且至少有两个切点；②对任意x∈R都有g（x）≥F（x）．则称直线l为曲线S的“上夹线”．（Ⅰ）已知函数-数学试题及答案

1、试题题目：设直线l：y=g（x），曲线S：y=F（x）．若直线l与曲线S同时满足下列两个条..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-05 07:30:00

试题原文

设直线l：y=g（x），曲线S：y=F（x）．若直线l与曲线S同时满足下列两个条件：①直线l与曲线S相切且至少有两个切点；②对任意x∈R都有g（x）≥F（x）．则称直线l为曲线S的“上夹线”．
（Ⅰ）已知函数f（x）=x-2sinx．求证：y=x+2为曲线f（x）的“上夹线”．
（Ⅱ）观察下图：

魔方格

根据上图，试推测曲线S：y=mx-nsinx（n＞0）的“上夹线”的方程，并给出证明．

试题来源：佛山一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解（Ⅰ）由f'（x）=1-2cosx=1得cosx=0，（1分）
当x=-

π

2

时，cosx=0，
此时y1=x+2=-

π

2

+2，y2=x-2sinx=-

π

2

+2，（2分）
y₁=y₂，所以（-

π

2

，-

π

2

+2）是直线l与曲线S的一个切点；（3分）
当x=

3π

2

时，cosx=0，
此时y1=x+2=

3π

2

+2，y2=x-2sinx=

3π

2

+2，（4分）
y₁=y₂，，所以（

3π

2

，

3π

2

+2）是直线l与曲线S的一个切点；（5分）
所以直线l与曲线S相切且至少有两个切点；
对任意x∈R，g（x）-F（x）=（x+2）-（x-2sinx）=2+2sinx≥0，
所以g（x）≥F（x）（6分）
因此直线l：y=x+2是曲线S：y=ax+bsinx的“上夹线”．（7分）
（Ⅱ）推测：y=mx-nsinx（n＞0）的“上夹线”的方程为y=mx+n（9分）
①先检验直线y=mx+n与曲线y=mx-nsinx相切，且至少有两个切点：设：F（x）=mx-nsinx
∵F'（x）=m-ncosx，令F'（x）=m-ncosx=m，得：x=2kπ±

π

2

（k∈Z）（10分）
当x=2kπ-

π

2

时，F（2kπ-

π

2

）=m（2kπ-

π

2

）+n
故：过曲线F（x）=mx-nsinx上的点2kπ-

π

2

，m（2kπ-

π

2

）+n）的切线方程为：
y-[m（2kπ-

π

2

）+n]=m[-（2kπ-

π

2

）]，化简得：y=mx+n．
即直线y=mx+n与曲线y=F（x）=mx-nsinx相切且有无数个切点．（12分）
不妨设g（x）=mx+n
②下面检验g（x）≥F（x）
∵g（x）-F（x）=m（1+sinx）≥0（n＞0）
∴直线y=mx+n是曲线y=F（x）=mx-nsinx的“上夹线”．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设直线l：y=g（x），曲线S：y=F（x）．若直线l与曲线S同时满足下列两个条..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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