设定义在区间[x1，x2]上的函数y=f（x）的图象为C，M是C上的任意一点，O为坐标原点，设向量OA=（x1，f（x1）），OB=(x2，f(x2))，OM=（x，y），当实数λ满足x=λx1+（1-λ）x2时，记向量ON-数学试题及答案

1、试题题目：设定义在区间[x1，x2]上的函数y=f（x）的图象为C，M是C上的任意一点..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-05 07:30:00

试题原文

设定义在区间[x₁，x₂]上的函数y=f（x）的图象为C，M是C上的任意一点，O为坐标原点，设向
量

OA

=（x₁，f（x₁）），

OB

=(x2， f(x2))，

OM

=（x，y），当实数λ满足x=λ x₁+（1-λ） x₂时，记向量

ON

=λ

OA

+（1-λ）

OB

．定义“函数y=f（x）在区间[x₁，x₂]上可在标准k下线性近似”是指“|

MN

|≤k恒成立”，其中k是一个确定的正数．
（1）设函数 f（x）=x²在区间[0，1]上可在标准k下线性近似，求k的取值范围；
（2）求证：函数g（x）=lnx在区间[e^m，e^m+1]（m∈R）上可在标准k=

1

8

下线性近似．
（参考数据：e=2.718，ln（e-1）=0.541）

试题来源：扬州模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由

ON

=λ

OA

+（1-λ）

OB

得到

BN

=λ

BA

，
所以B，N，A三点共线，（2分）
又由x=λx₁+（1-λ）x₂与向量

ON

=λ

OA

+（1-λ）

OB

，得N与M的横坐标相同．（4分）
对于[0，1]上的函数y=x²，A（0，0），B（1，1），
则有|

MN

|=x-x2=-(x-

1

2

)2+

1

4

，故|

MN

|∈[0，

1

4

]；
所以k的取值范围是[

1

4

，+∞)．（6分）
（2）对于[e^m，e^m+1]上的函数y=lnx，
A（e^m，m），B（e^m+1，m+1），（8分）
则直线AB的方程y-m=

1

em+1-em

(x-em)，（10分）
令h(x)=lnx-m-

1

em+1-em

(x-em)，其中x∈[e^m，e^m+1]（m∈R），
于是h′(x)=

1

x

-

1

em+1-em

，（13分）
列表如下：

x	e^m	（e^m，e^m+1-e^m）	e^m+1-e^m	（e^m+1-e^m，e^m+1）	e^m+1
h'（x）		+	0	-
h（x）	0	增	h（e^m+1-e^m）	减	0

则|

MN

|=h（x），且在x=e^m+1-e^m处取得最大值，
又h(em+1-em)=ln(e-1)-

e-2

e-1

≈0.123＜

1

8

，从而命题成立．（16分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设定义在区间[x1，x2]上的函数y=f（x）的图象为C，M是C上的任意一点..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：