设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1）=0，当x＞0时，有f（x）＞xf′（x）恒成立，则不等式xf（x）＞0的解集为（）A．（-∞，0）∪（0，1）B．（-∞，-1）∪（0，1）C．（-1，0）∪（1，+∞）D．（-1，0）∪（0，1）-数学试题及答案

1、试题题目：设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1）=0，当x＞0时，有f（x）＞xf..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-06 07:30:00

试题原文

设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1）=0，当x＞0时，有f（x）＞xf′（x）恒成立，则不等式xf（x）＞0的解集为（　　）

A．（-∞，0）∪（0，1）

B．（-∞，-1）∪（0，1）

C．（-1，0）∪（1，+∞）

D．（-1，0）∪（0，1）

试题来源：不详试题题型：单选题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

设g（x）=

f(x)

x

则g（x）的导数为g′（x）=

xf，(x)-f(x)

x2

∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）＜0，
∴当x＞0时，函数g（x）=

f(x)

x

为减函数，
又∵g（-x）=

f(-x)

-x

=

f(x)

x

=g（x）
∴函数g（x）为定义域上的偶函数
又∵g（1）=

f(1)

1

=0
∴函数g（x）的图象如图：数形结合可得
∵xf（x）＞0且，f（x）=xg（x）（x≠0）
∴x²?g（x）＞0
∴g（x）＞0
∴0＜x＜1或-1＜x＜0
故选D

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1）=0，当x＞0时，有f（x）＞xf..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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