已知k为正常数，方程x2-kx+u=0有两个正数解x1，x2．（1）求实数u的取值范围；（2）求使不等式（1x1-x1）（1x2-x2）≥（k2-2k）2恒成立的k的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知k为正常数，方程x2-kx+u=0有两个正数解x1，x2．（1）求实数u的取..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-06 07:30:00

试题原文

已知k为正常数，方程x²-kx+u=0有两个正数解x₁，x₂．
（1）求实数u的取值范围；
（2）求使不等式（

1

x1

-x₁）（

1

x2

-x₂）≥（

k

2

-

2

k

）²恒成立的k的取值范围．

试题来源：南京模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由于方程x²-kx+u=0有两个正数解x₁，x₂．
所以

△=k2-4u≥0

x1+x2=k＞0

x1x2=u＞0

…（3分）解得0＜u≤

k2

4

，
即实数u的取值范围是（0，

k2

4

]；…（6分）
（2）（

1

x1

-x₁）（

1

x2

-x₂）=x₁x₂+

1

x1x2

-

x12+x22

x1x2

=u-

k2-1

u

+2．
令f （u）=u-

k2-1

u

+2（u＞0），所以f′（u）=1+

k2-1

u

，…（8分）
（i）若k≥1，因为0＜u≤

k2

4

，所以f′（u）＞0，从而f （u）在（0，

k2

4

]为增函数，所以
u-

k2-1

u

+2≤f （

k2

4

）=

k2

4

-

k2-1

k2

4

+2=（

k

2

-（

2

k

）²，
即（

1

x1

-x₁）（

1

x2

-x₂）≥（（

k

2

-（

2

k

）²不恒成立．…（10分）
（ii）若0＜k＜1，由f′（u）=1+

k2-1

u2

=0，得u=

1-k2

，
当u∈（0，

1-k2

），f′（u）＜0；当u∈（

1-k2

，+∞），f′（u）＞0，
所以函数f （u）在（0，

1-k2

]上递减，在[

1-k2

，+∞）上递增，…（12分）
要使函数f （u）在（0，

k2

4

]上恒有f （u）≥f （

k2

4

），必有

1-k2

≥

k2

4

，即k⁴+16 k²-16≤0，…（14分）
解得0＜k≤2

5

-2

．综上，k的取值范围是（0，2

5

-2

]．…（16分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知k为正常数，方程x2-kx+u=0有两个正数解x1，x2．（1）求实数u的取..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：