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1、试题题目:已知函数f(x)=exx2+x+1-3e249(e是自然对数的底数),g(x)=ax(a是实..

发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2015-12-06 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=
ex
x2+x+1
-
3e2
49
(e是自然对数的底数),g(x)=ax(a是实数).
(I)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若在[2,+∞)上至少存在一点x0,使得f(x0)<g(x0)成立,求a的取值范围.

  试题来源:不详   试题题型:解答题   试题难度:中档   适用学段:高中   考察重点:函数的奇偶性、周期性



2、试题答案:该试题的参考答案和解析内容如下:
(I)∵f(x)=
ex
x2+x+1
-
3e2
49
f′(x)=
ex(x2-x)
(x2+x+1)2

f′(x)=
ex(x2-x)
(x2+x+1)2
>0
,解得x<0或x>1
f′(x)=
ex(x2-x)
(x2+x+1)2
<0
,解得0<x<1
函数f(x)的单调递增区间为:(-∞,0)和(1,+∞)
函数f(x)的单调递减区间为:(0,1)
(Ⅱ)考察反面情况:?x∈[2,+∞),f(x)≥g(x)恒成立
h(x)=
ex
x2+x+1
-
3e2
49
-ax≥0
在x∈[2,+∞)上恒成立
首先h(2)=
e2
7
-
3e2
49
-2a≥0
,即a≤
2e2
49

其次,h′(x)=
ex(x2-x)
(x2+x+1)2
-a
考虑M(x)=
ex(x2-x)
(x2+x+1)2

M′(x)=
ex(x2+x+1)[x3(x-2)+3x2+2x-1]
(x2+x+1)4
>0
在x∈[2,+∞)上恒成立
M(x)≥M(2)=
2e2
49
∴当a≤
2e2
49
时,h′(x)=
ex(x2-x)
(x2+x+1)2
-a≥
2e2
49
-a≥0

∴h(x)在x∈[2,+∞)上递增,又h(2)≥0
h(x)=
ex
x2+x+1
-
3e2
49
-ax≥0
在x∈[2,+∞)上恒成立,故a≤
2e2
49

∴原题的结论为:a>
2e2
49
3、扩展分析:该试题重点查考的考点详细输入如下:

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“已知函数f(x)=exx2+x+1-3e249(e是自然对数的底数),g(x)=ax(a是实..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中函数的奇偶性、周期性”。


4、其他试题:看看身边同学们查询过的数学试题:

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