设函数y=f（x）是定义域为R的奇函数，且满足f（x-2）=-f（x）对一切x∈R恒成立，当-1≤x≤1时，f（x）=x3，则下列四个命题：①f（x）是以4为周期的周期函数．②f（x）在[1，3]上的解析式为f（x）=-数学试题及答案

1、试题题目：设函数y=f（x）是定义域为R的奇函数，且满足f（x-2）=-f（x）对一切x∈R..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-06 07:30:00

试题原文

设函数y=f （x）是定义域为R的奇函数，且满足f （x-2）=-f （x）对一切x∈R恒成立，当-1≤x≤1时，f （x）=x³，则下列四个命题：
①f（x）是以4为周期的周期函数．
②f（x）在[1，3]上的解析式为f （x）=（2-x）³．
③f（x）在(

3

2

，f(

3

2

))处的切线方程为3x+4y-5=0．
④f（x）的图象的对称轴中，有x=±1，其中正确的命题是（　　）

A．①②③

B．②③④

C．①③④

D．①②③④

试题来源：不详试题题型：单选题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

∵f （x-2）=-f （x）对一切x∈R恒成立，
∴f （x-4）=-f （x-2）=-[-f（x）]=f（x）∴f（x）是以4为周期的周期函数．①对
设1≤x≤3∴-1≤2-x≤1 又∵当-1≤x≤1时，f （x）=x³，
∴f（2-x）=（2-x）³=-f（x）∴f （x）=（2-x）³ ②对
∴f'（x）=-3（2-x）²∴f'（

3

2

）=-

3

4

=k
又∵f(

3

2

)=（2-

3

2

）³=

1

8

∴f （x）在(

3

2

，f(

3

2

))处的切线方程为：y-

1

8

=-

3

4

（x-

3

2

）即：3x+4y-5=0．③对
由f （x-2）=-f （x）=f（-x）知函数图象的一条对称轴为x=-1，又∵f（x）为奇函数，其图象关于y轴对称
∴f （x）的图象的对称轴中，有x=1，故④对．
故选D．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数y=f（x）是定义域为R的奇函数，且满足f（x-2）=-f（x）对一切x∈R..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：