已知定义域为R的函数f(x)=12x+1-12．（1）判断其奇偶性并证明；（2）判断函数f（x）在R上的单调性，不用证明；（3）是否存在实数k，对于任意t∈[1，2]，不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＞0恒成-数学试题及答案

1、试题题目：已知定义域为R的函数f(x)=12x+1-12．（1）判断其奇偶性并证明；（2）判..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-06 07:30:00

试题原文

已知定义域为R的函数f(x)=

1

2x+1

-

1

2

．
（1）判断其奇偶性并证明；
（2）判断函数f（x）在R上的单调性，不用证明；
（3）是否存在实数k，对于任意t∈[1，2]，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＞0恒成立．若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f（x）是奇函数．
证明：∵f(-x)=

1

2-x+1

-

1

2

=

2x

2x+1

-

1

2

=1-

1

2x+1

-

1

2

=

1

2

-

1

2x+1

=-(

1

2x+1

-

1

2

)=-f(x)
∴f（x）是R上的奇函数．（3分）
（2）由（1）可知f（x）是奇函数，
当x=0时，f（x）=0，
当x＞0且x越来越大，f（x）越来越小，x→+∞，f（x）越来越来→-

1

2

，
∴f（x）是R上的减函数．（6分）
（3）∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（t²-2t）＞-f（2t²-k）=f（k-2t²）（9分）
又f（x）是R上的减函数
∴t²-2t＜k-2t²
即问题等价于对任意t∈[1，2]，k＞3t²-2t恒成立（12分）
令g（t）=3t²-2t，
则g（t）在[1，2]上是增函数，
∴g（t）_max=g（2）=12-4=8（13分）
∴k＞8．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知定义域为R的函数f(x)=12x+1-12．（1）判断其奇偶性并证明；（2）判..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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