已知函数f（x）=log2（x2+1）（x≥0），g(x)=x-a，(a∈R)．（1）试求函数f（x）的反函数f-1（x）；（2）函数h（x）=f-1（x）+g（x），求h（x）的定义域，并判断函数h（x）的增减性；（3）（理）若（2）中函数h-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=log2（x2+1）（x≥0），g(x)=x-a，(a∈R)．（1）试求函数f（x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-06 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=log₂（x²+1）（x≥0），g(x)=

x-a

， ( a∈R )．
（1）试求函数f（x）的反函数f^-1（x）；
（2）函数h（x）=f^-1（x）+g（x），求h（x）的定义域，并判断函数h（x）的增减性；
（3）（理）若（2）中函数h（x），有h（x）≥2在定义域内恒成立，求a的范围．
（文）若（2）中函数h（x）的最小值为3，试求a的值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）令y=f（x）=log₂（x²+1）（x≥0），
∴x²+1=2^y即x=

2y-1

（y≥0）
∴f-1(x)=

2x-1

(x≥0)．
（2）h(x)=f-1(x)+g(x)=

2x-1

+

x-a

，a＜0时，定义域为[0，+∞）；a≥0时，定义域为[a，+∞）；
此函数在定义域内单调递增（∵f^-1（x）与g（x）在公共定义域内均为增函数，∴它们的和也为增函数）．
（3）（理）当a≥0时，由h(x)min=h(a)=

2a-1

≥2?a≥log₂5．
当a＜0时，由h(x)min=h(0)=

-a

≥2?a≤-4．∴a的取值范围是（-∞，-4]∪[log₂5，+∞）．
（文）当a≥0时，由h(x)min=h(a)=

2a-1

=3?log210；
当a＜0时，由h(x)min=h(0)=

-a

=3?a=-9．∴所求的a的值为a=log₂10或a=-9．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=log2（x2+1）（x≥0），g(x)=x-a，(a∈R)．（1）试求函数f（x..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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