已知f（x）是定义在实数集R上的函数，满足f（x+2）=-f（x），且x∈[0，2]时，f（x）=2x-x2，（1）求x∈[-2，0]时，f（x）的表达式；（2）证明f（x）是R上的奇函数．-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）是定义在实数集R上的函数，满足f（x+2）=-f（x），且x∈[0，2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

已知f（x）是定义在实数集R上的函数，满足f（x+2）=-f（x），且x∈[0，2]时，f（x）=2x-x²，
（1）求x∈[-2，0]时，f（x）的表达式；
（2）证明f（x）是R上的奇函数．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）因为x∈[0，2]时，f（x）=2x-x²，
所以x∈[-2，0]时，x+2∈[0，2]，
则f（x+2）=2（x+2）-（x+2）²
=-x²-2x，x∈[-2，0]
又f（x+2）=-f（x），
所以f（x）=x²+2x，x∈[-2，0]．
（2）证明：由（1）知f（x）=x²+2x，x∈[-2，0]，
则f（-x）=x²-2x，x∈[-2，0]，
且f（x）=2x-x²，x∈[0，2]，
所以f（-x）=-f（x），x∈[-2，2]，
即f（x）在[-2，2]上是奇函数．
又f（x+2）=-f（x），x∈R，则f（x）=-f（x-2），x∈R，
所以f（x+2）=f（x-2），即f（x+4）=f（x），
亦即f（x）是以4为周期的函数，
故f（x）是R上的奇函数．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）是定义在实数集R上的函数，满足f（x+2）=-f（x），且x∈[0，2..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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