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1、试题题目:已知函数f(x)=lnx,g(x)=12x2,(I)设函数F(x)=ag(x..

发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2015-12-07 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=lnx,g(x)=
1
2
x2

(I)设函数F(x)=ag(x)-f(x)(a>0),若F(x)没有零点,求a的取值范围;
(II)若x1>x2>0,总有m[g(x1)-g(x2)]>x1f(x1)-x2f(x2)成立,求实数m的取值范围.

  试题来源:广东模拟   试题题型:解答题   试题难度:中档   适用学段:高中   考察重点:函数的奇偶性、周期性



2、试题答案:该试题的参考答案和解析内容如下:
(I)F(x)=ag(x)-f(x)=
1
2
ax2-lnx,
F′(x)=ax-
1
x
=
ax2-1
x
   (x>0)
∴函数F(x)在(0,
1
a
)上为减函数,在(
1
a
,+∞)上为增函数
若F(x)没有零点,须且只须F(
1
a
)>0,
1
2a
+
1
2
lna>0,即
1
a
+lna>
0
设g(a)=
1
a
+lna
,∵g′(a)=
a-1
a2

∴g(a)在(0,1)而为减函数,在(1,+∞)上为增函数,而g(1)=1>0
∴g(a)>0,即当a>0时,
1
a
+lna>
0恒成立
故若F(x)没有零点,则a的取值范围为(0,+∞)
(II)若x1>x2>0,总有m[g(x1)-g(x2)]>x1f(x1)-x2f(x2)成立,
即若x1>x2>0,总有mg(x1)-x1f(x1)>mg(x2)-x2f(x2)成立,
即函数h(x)=mg(x)-xf(x)=
1
2
mx2-xlnx,在(0,+∞)上为增函数,
即h′(x)=mx-lnx-1≥0在(0,+∞)上恒成立
即m≥
lnx+1
x
在(0,+∞)上恒成立
设G(x)=
lnx+1
x
,则G′(x)=
-lnx
x2

∴G(x)在(0,1)上为增函数,在(1,+∞)上为减函数,
∴G(x)≤G(1)=1
∴m≥1
3、扩展分析:该试题重点查考的考点详细输入如下:

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“已知函数f(x)=lnx,g(x)=12x2,(I)设函数F(x)=ag(x..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中函数的奇偶性、周期性”。


4、其他试题:看看身边同学们查询过的数学试题:

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