已知函数f（x）=x3-bx2+6x+a，x=2是f（x）的一个极值点．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若当x∈[1，3]时，f（x）-a2＞2恒成立，求a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x3-bx2+6x+a，x=2是f（x）的一个极值点．（1）求f（x）的单..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x³-bx²+6x+a，x=2是f（x）的一个极值点．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若当x∈[1，3]时，f（x）-a²＞2恒成立，求a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f'（x）=3x²-2bx+6．---------------------（1分）
∵x=2是f（x）的一个极值点．
∴f'（2）=0，即2是方程3x²-2bx+6=0的一个根，解得b=

9

2

．----------------------（3分）
所以f'（x）=3x²-9x+6
令f'（x）＞0，则3x²-9x+6＞0，解得x＞2或x＜1．-----------------------（5分）
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，1），（2，+∞）．-----------------------（6分）
（2）∵当1＜x＜2时f'（x）＜0，当x＞2或x＜1时，f'（x）＞0，
∴f（x）在（1，2）内单调递减，f（x）在（2，3）内单调递增．-------------------（8分）
∴当x=2时，f（x）取得极小值f（2），同时在区间[1，3]上的也是最小值，且 f（2）=a+2．------------------（10分）
若当x∈[1，3]时，要使f（x）-a²＞2恒成立，只需f（2）＞a²+2，即a+2＞a²+2，------------------（12分）
解得 0＜a＜1．------------------（13分）
即的取值范围是0＜a＜1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x3-bx2+6x+a，x=2是f（x）的一个极值点．（1）求f（x）的单..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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