已知数列{an}中，已知a1=1，an+1=an1+2an，（1）求证数列{1an}是等差数列；（2）求数列{an}的通项公式；（3）若对一切n∈N*，等式a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=2n恒成立，求数列{bn}的通项-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}中，已知a1=1，an+1=an1+2an，（1）求证数列{1an}是等..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}中，已知a₁=1，an+1=

an

1+2an

，
（1）求证数列{

1

an

}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）若对一切n∈N^*，等式a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=2ⁿ恒成立，求数列{b_n}的通项公式．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由an+1=

an

1+2an

，
得a_n+1+2a_na_n+1=a_n，
即a_n-a_n+1=2a_na_n+1
两边同除以a_na_n+1，得，

1

an+1

-

1

an

=2，
又

1

a1

=1，
所以数列{

1

an

}是首项为1，公差为2的等差数列．
（2）由（1）

1

an

=1+2(n-1)=2n-1，
所以数列{a_n}的通项公式an=

1

2n-1

（3）因为对一切n∈N^*，
有a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=2ⁿ①
所以当n≥2时，a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_n-1b_n-1=2^n-1②
①-②得，当n≥2时，
a_nb_n=2^n-1，
又an=

1

2n-1

，
所以b_n=（2n-1）2^n-1
又n=1时，a₁b₁=2¹，a₁=1，
所以b₁=2；
综上得bn=

2

，&n=1

(2n-1)?2n-1，n≥2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}中，已知a1=1，an+1=an1+2an，（1）求证数列{1an}是等..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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