已知函数f(x)=a-12x+1，（x∈R）．（Ⅰ）求证：不论a为何实数f（x）在（-∞，+∞）上为增函数；（Ⅱ）若f（x）为奇函数，求a的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求f（x）在区间[1，5）上的最小值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=a-12x+1，（x∈R）．（Ⅰ）求证：不论a为何实数f（x）在（-∞，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-12 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=a-

1

2x+1

，（x∈R）．
（Ⅰ）求证：不论a为何实数f（x）在（-∞，+∞）上为增函数；
（Ⅱ）若f（x）为奇函数，求a的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求f（x）在区间[1，5）上的最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的定义域、值域

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵f（x）的定义域为R，任取x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=a-

1

2x1+1

-a+

1

2x2+1

=

2x1-2x2

(1+2x1)(1+2x2)

．
∵x₁＜x₂，
∴2x1-2x2＜0，(1+2x1)(1+2x2)＞0．
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
所以不论a为何实数f（x）总为增函数．（4分）
（Ⅱ）∵f（x）在x∈R上为奇函数，
∴f（0）=0，即a-

1

20+1

=0．
解得 a=

1

2

．（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f(x)=

1

2

-

1

2x+1

，
由（Ⅰ）知，f（x）为增函数，
∴f（x）在区间[1，5）上的最小值为f（1）．
∵f(1)=

1

2

-

1

3

=

1

6

，
∴f（x）在区间[1，5）上的最小值为

1

6

．（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=a-12x+1，（x∈R）．（Ⅰ）求证：不论a为何实数f（x）在（-∞，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的定义域、值域”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的定义域、值域”。

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