已知函数f(x)=mx-mx，g(x)=2lnx．（1）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当m=1时，证明方程f（x）=g（x）有且仅有一个实数根；（3）若x∈（1，e]时，不等式f（x）-g（x-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=mx-mx，g(x)=2lnx．（1）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-16 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=mx-

m

x

，g(x)=2lnx．
（1）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当m=1时，证明方程f（x）=g（x）有且仅有一个实数根；
（3）若x∈（1，e]时，不等式f（x）-g（x）＜2恒成立，求实数m的取值范围．

试题来源：贵阳二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的零点与方程根的联系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）m=2时，f(x)=2x-

2

x

，f′(x)=2+

2

x2

，f′(1)=4，
切点坐标为（1，0），
∴切线方程为y=4x-4…（2分）
（2）m=1时，令h(x)=f(x)-g(x)=x-

1

x

-2lnx，
h′(x)=1+

1

x2

-

2

x

=

(x-1)2

x2

≥0，
∴h（x）在（0，+∞）上为增函数．…（4分）
又h(e)?h(

1

e

)=-(

1

e

-e+2)2＜0，
∴y=h（x）在（0，+∞）内有且仅有一个零点
∴在（0，+∞）内f（x）=g（x）有且仅有一个实数根 …（6分）
（或说明h（1）=0也可以）
（3）mx-

m

x

-2lnx＜2恒成立，即m（x²-1）＜2x+2xlnx恒成立，
又x²-1＞0，则当x∈（1，e]时，m＜

2x+2xlnx

x2-1

恒成立，
令G(x)=

2x+2xlnx

x2-1

，只需m小于G（x）的最小值，
G′(x)=

-2(x2lnx+lnx+2)

(x2-1)2

，
∵1＜x≤e，∴lnx＞0，∴当x∈（1，e]时G'（x）＜0，
∴G（x）在（1，e]上单调递减，
∴G（x）在（1，e]的最小值为G(e)=

4e

e2-1

，
则m的取值范围是(-∞，

4e

e2-1

)． …（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=mx-mx，g(x)=2lnx．（1）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（1..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。

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