已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足f（-1）=0，且对任意的x∈R，总有f（x）-x≥0，并且当x∈（0，2）时f(x)≤(x+12)2，求f（x）的解析式．-数学试题及答案

1、试题题目：已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足f（-1）=0，且对任意的x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-17 07:30:00

试题原文

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）满足f（-1）=0，且对任意的x∈R，总有f（x）-x≥0，并且当x∈（0，2）时f(x)≤(

x+1

2

)2，求f（x）的解析式．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数解析式的求解及其常用方法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

∵对任意的x∈R，总有f（x）-x≥0，并且当x∈（0，2）时f(x)≤(

x+1

2

)2，
∴当x=1时，有1≤f（1）≤1，即f（1）=1，结合f（-1）=0可得

a-b+c=0

a+b+c=1

，
解得a+c=b=

1

2

，又∵对于一切实数x，f（x）-x≥0恒成立，
∴ax²+（b-1）x+c≥0（a≠0），对于一切实数x恒成立，
∴

a＞0

△=(b-1)2-4ac≤0

，即

a＞0

ac≥

1

16

，
∵a+c=

1

2

，且a+c≥2

ac

=

1

2

，
∴当且只有当a=c=

1

4

时，不等式成立，
∴f（x）=

1

4

x²+

1

2

x+

1

4

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足f（-1）=0，且对任意的x..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数解析式的求解及其常用方法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数解析式的求解及其常用方法”。

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