已知f（x）=x（x-a）（x-b），点A（s，f（s）），B（t，f（t））．（Ⅰ）若a=b=1，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若函数f（x）的导函数f‘（x）满足：当|x|≤1时，有|f‘（x）|≤32恒成立，求函数f（x）的-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）=x（x-a）（x-b），点A（s，f（s）），B（t，f（t））．（Ⅰ）若a=b=1，求..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-17 07:30:00

试题原文

已知f（x）=x（x-a）（x-b），点A（s，f（s）），B（t，f（t））．
（Ⅰ）若a=b=1，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若函数f（x）的导函数f'（x）满足：当|x|≤1时，有|f'（x）|≤

3

2

恒成立，求函数f（x）的解析表达式；
（Ⅲ）若0＜a＜b，函数f（x）在x=s和x=t处取得极值，且a+b=2

3

，证明：

OA

与

OB

不可能垂直．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数解析式的求解及其常用方法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由题意可得：f（x）=x³-2x²+x，、
所以f'（x）=3x²-4x+1，
令f'（x）≥0得3x²-4x+1≥0，解得x≤

1

3

或x≥1
故f（x）的增区间(-∞，

1

3

]和[1，+∞）（4分）
（Ⅱ）由题意可得：f'（x）=3x²-2（a+b）x+ab，
并且当x∈[-1，1]时，恒有|f'（x）|≤

3

2

．（5分）
故有-

3

2

≤f'（1）≤

3

2

，-

3

2

≤f'（-1）≤

3

2

，及-

3

2

≤f'（0）≤

3

2

，（6分）
即

-

3

2

≤3-2(a+b)+ab≤

3

2

…①

-

3

2

≤3+2(a+b)+ab≤

3

2

…②

-

3

2

≤ab≤

3

2

…③

…（8分）
①+②，得-

9

2

≤ab≤-

3

2

，…（8分）
又由③，得ab=-

3

2

，将上式代回①和②，得a+b=0，
故f(x)=x3-

3

2

x．（10分）
（Ⅲ）假设

OA

⊥

OB

，即

OA

?

OB

=（s，f（s））?（t，f（t））=st+f（s）f（t）=0（11分）
所以有：（s-a）（s-b）（t-a）（t-b）=-1[st-（s+t）a+a²][st-（s+t）b+b²]=-1，…（11分）
由s，t为f'（x）=0的两根可得，s+t=

2

3

（a+b），st=

1

3

，（0＜a＜b）
从而有ab（a-b）²=9．…（12分）
这样(a+b)2=(a-b)2+4ab=

9

ab

+4ab≥2

36

=12
即 a+b≥2

3

，这与a+b＜2

3

矛盾．…（14分）
故

OA

与

OB

不可能垂直．…（16分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）=x（x-a）（x-b），点A（s，f（s）），B（t，f（t））．（Ⅰ）若a=b=1，求..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数解析式的求解及其常用方法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数解析式的求解及其常用方法”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：