偶函数f（x）的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x，y∈D，有f（xy）=f（x）+f（y），若x＞1时，f（x）＞0．（1）求f（1）的值；（2）求证f（x）在区间（0，+∞）上是增函数；（3）若f（4）=1，求不等式f-数学试题及答案

1、试题题目：偶函数f（x）的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x，y∈D，有f（xy）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-19 07:30:00

试题原文

偶函数f（x）的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x，y∈D，有f（xy）=f（x）+f（y），若x＞1时，f（x）＞0．
（1）求f（1）的值；
（2）求证f（x）在区间（0，+∞）上是增函数；
（3）若f（4）=1，求不等式f（3x+1）≤2的解集．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：分段函数与抽象函数

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）令x=y=1代入f（xy）=f（x）+f（y），得f（1）=0；
（2）令y=

1

x

，代入f（xy）=f（x）+f（y），得f（x）+f（

1

x

）=0，即f（

1

x

）=-f（x）；
∵x＞1时，f（x）＞0，令0＜x₁＜x₂，

x2

x1

＞1，
∴f（

x2

x1

）=f（x₂?

1

x1

）=f（x₂）+f（

1

x1

）=f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁）．
∴f（x）在区间（0，+∞）上是增函数；
（3）∵偶函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数，f（4）=1，
∵f（3x+1）≤2=f（4）+f（4）=f（16），
∴|3x+1|≤16（x≠0），
∴-

17

3

≤x＜0或0＜x≤5．
∴所求不等式的解集为：{x|-

17

3

≤x＜0或0＜x≤5}．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“偶函数f（x）的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x，y∈D，有f（xy）..”的主要目的是检查您对于考点“高中分段函数与抽象函数”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中分段函数与抽象函数”。

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