设椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）过点M（1，1），离心率e=63，O为坐标原点．（I）求椭圆C的方程．（Ⅱ）若直线l是圆O：x2+y2=1的任意一条切线，且直线l与椭圆C相交于A，B两点，求证：OA?OB为-数学试题及答案

1、试题题目：设椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）过点M（1，1），离心率e=6..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-31 07:30:00

试题原文

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点M（1，1），离心率e=

6

3

，O为坐标原点．
（I）求椭圆C的方程．
（Ⅱ）若直线l是圆O：x²+y²=1的任意一条切线，且直线l与椭圆C相交于A，B两点，求证：

OA

?

OB

为定值．

试题来源：贵阳二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：向量数量积的运算

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由题意可得

e=

c

a

=

6

3

a2=b2+c2

1

a2

+

1

b2

=1

，解得

a2=4

b2=

4

3

，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

3y2

4

=1．
（Ⅱ）①当圆O的切线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，
则圆心O到直线l的距离d=

|m|

1+k2

，
∴1+k²=m²．
将直线l的方程和椭圆C的方程联立

y=kx+m

x2

4

+

3y2

4

=1

，得到（1+3k²）x²+6kmx+3m²-4=0．
设直线l与椭圆C相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，
则x1+x2=-

6km

1+3k2

，x1x2=

3m2-4

1+3k2

．
∴

OA

?

OB

=x1x2+y1y2=x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）
=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2
=(1+k2)?

3m2-4

1+3k2

+km(-

6km

1+3k2

)+m2
=

4m2-4-4k2

1+3k2

=0，
②当圆的切线l的斜率不存在时，验证得

OA

?

OB

=0．
综合上述可得，

OA

?

OB

为定值0．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）过点M（1，1），离心率e=6..”的主要目的是检查您对于考点“高中向量数量积的运算”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中向量数量积的运算”。

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