已知两圆C1：x2+y2-2y=0，C2：x2+（y+1）2=4的圆心分别为C1，C2，P为一个动点，且直线PC1，PC2的斜率之积为-12（1）求动点P的轨迹M的方程；（2）是否存在过点A（2，0）的直线l与轨迹M交-数学试题及答案

1、试题题目：已知两圆C1：x2+y2-2y=0，C2：x2+（y+1）2=4的圆心分别为C1，C2，P为..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

已知两圆C₁：x²+y²-2y=0，C₂：x²+（y+1）²=4的圆心分别为C₁，C₂，P为一个动点，且直线PC₁，PC₂的斜率之积为-

1

2

（1）求动点P的轨迹M的方程；
（2）是否存在过点A（2，0）的直线l与轨迹M交于不同的两点C、D，使得|C₁C|=|C₁D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由两圆C₁：x²+y²-2y=0，即x²+（y-1）²=1；C₂：x²+（y+1）²=4．
得两圆的圆心坐标分别为C₁（0，1），C₂（0，-1）
设动点P的坐标为（x，y），则直线kPC1=

y-1

x

（x≠0），kPC2=

y+1

x

(x≠0)，
由已知得

y-1

x

?

y+1

x

=-

1

2

(x≠0)，即

x2

2

+y2=1(x≠)．
所以动点P的轨迹M的方程为

x2

2

+y2=1(x≠0)．
（2）假设存在满足条件的直线l．
∵点A（2，0）在椭圆M的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆M无交点，
因此直线l斜率存在，设为k，
则直线l的方程为y=k（x-2）
由方程组

x2

2

+y2=1

y=k(x-2)

得（2k²+1）x²-8k²x+8k²-2=0 ①
依题意△=-8（2k²-1）＞0解得-

2

＜k＜

2

．
当得-

2

＜k＜

2

时，设交点C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），CD的中点为N（x₀，y₀），
由①可得x1+x2=

8k2

2k2+1

，
则x0=

x1+x2

2

=

4k2

2k2+1

．
∴y0=k(x0-2)=k(

4k2

2k2+1

-2)=

-2k

2k2+1

要使|C₁C|=|C₁D|，必须C₁N⊥l，即k?kC1N=-1．
∴∴k?

-2k

2k2+1

-1

4k2

2k2+1

-0

=-1，即k2-k+

1

2

=0 ②
∵△1=1-4×

1

2

=-1＜0或，∴k2-k+

1

2

=0无解．
所以不存在直线l，使得|C₁C|=|C₁D|．
综上所述，不存在直线l，使得得|C₁C|=|C₁D|．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知两圆C1：x2+y2-2y=0，C2：x2+（y+1）2=4的圆心分别为C1，C2，P为..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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