已知：直线x+y=1交椭圆mx2+ny2=1于A，B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点）（1）求证：椭圆过定点；（2）若椭圆的离心率在[33，22]上变化时，求椭圆长轴的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知：直线x+y=1交椭圆mx2+ny2=1于A，B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

已知：直线x+y=1交椭圆mx²+ny²=1于A，B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点）
（1）求证：椭圆过定点；
（2）若椭圆的离心率在[

3

，

2

]上变化时，求椭圆长轴的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：由

mx2+ny2=1

x+y=1

?(m+n)x2-2nx+n-1=0…（2分）
由△=4n²-4（m+n）（n-1）＞0得：m+n-mn＞0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则：x1+x2=

2n

m+n

，x1x2=

n-1

m+n

∵OA⊥OB，∴x₁x₂+（1-x₁）（1-x₂）=0，即2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0，
得

2(n-1)

m+n

-

2n

m+n

+1=0，即

1

2

m+

1

2

n=1．
∴椭圆恒过定点(

2

，

2

)，(

2

，-

2

)，(-

2

，

2

)，(-

2

，-

2

)．
（2）设椭圆的焦点在x轴上，
∵

3

≤e≤

2

，∴

1

3

≤e2≤

1

2

，∴

1

2

≤

m

n

≤

2

3

．
由（1）得n=2-m，代入上式，得

1

2

≤

1

2

m

-1

≤

2

3

，得

5

2

≤

1

m

≤

6

2

，
∴

5

≤2

1

m

≤

6

，
∴椭圆长轴的取值范围是[

5

，

6

]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知：直线x+y=1交椭圆mx2+ny2=1于A，B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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