数列{an}中a1=1，且an+1=an+1n(n+1)①写出数列的前5项；②归纳出数列的通项公式；③用数学归纳法证明归纳出的结论．-数学试题及答案

1、试题题目：数列{an}中a1=1，且an+1=an+1n(n+1)①写出数列的前5项；②归纳出数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

数列{a_n}中a₁=1，且an+1=an+

1

n(n+1)

①写出数列的前5项；
②归纳出数列的通项公式；
③用数学归纳法证明归纳出的结论．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数学归纳法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

①∵a₁=1，a_n+1=a_n+

1

n(n+1)

，
∴a₂=1+

1

2

=

3

2

；
a₃=a₂+

1

2×3

=

3

2

+

1

2×3

=

10

6

=

5

3

；
a₄=a₃+

1

3×4

=

5

3

+

1

3×4

=

7

4

；
a₅=a₄+

1

4×5

=

7

4

+

1

4×5

=

9

5

；
②由①归纳知，a_n=

2n-1

n

；
③证明：（1）当n=1时，a₁=1，等式成立；
（2）假设n=k时，a_k=

2k-1

k

，
则当n=k+1时，
a_k+1=a_k+

1

k(k+1)

=

2k-1

k

+

1

k(k+1)

=

1

k

（2k-1+

1

k+1

）
=

1

k

?

(2k-1)(k+1)+1

k+1

=

1

k

?

k(2k+1)

k+1

=

2k+1

k+1

=

2(k+1)-1

k+1

．
即n=k+1时，等式也成立．
综上所述，对任意n∈N^*，a_n=

2n-1

n

均成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“数列{an}中a1=1，且an+1=an+1n(n+1)①写出数列的前5项；②归纳出数..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法”。

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