在数列{an}中，a1=1，an+1=an3an+1，n=1，2，3，…．（Ⅰ）计算a2，a3，a4的值；（Ⅱ）猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．-数学试题及答案

1、试题题目：在数列{an}中，a1=1，an+1=an3an+1，n=1，2，3，…．（Ⅰ）计算a2，a3..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

an

3an+1

，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）计算a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数学归纳法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵a₁=1，a_n+1=

an

3an+1

，
∴a₂=

a1

3a1+1

=

1

4

；
a₃=

a2

3a2+1

=

1

4

3

4

+1

=

1

7

，a₄=

1

7

3

7

+1

=

1

10

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可猜想：a_n=

1

3n-2

．
证明：①当n=1时，a₁=1，等式成立；
②假设n=k时，a_k=

1

3k-2

，
则当n=k+1时，a_k+1=

ak

3ak+1

=

1

3k-2

3×

1

3k-2

+1

=

1

3k+1

=

1

3(k+1)-2

，
即n=k+1时，等式也成立．
综上所述，对任意自然数n∈N^*，a_n=

1

3n-2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在数列{an}中，a1=1，an+1=an3an+1，n=1，2，3，…．（Ⅰ）计算a2，a3..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法”。

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