如图，在正四棱台内，以小底为底面．大底面中心为顶点作一内接棱锥．已知棱台小底面边长为b，大底面边长为a，并且棱台的侧面积与内接棱锥的侧面面积相等，求这个棱锥的高，并指-数学试题及答案

1、试题题目：如图，在正四棱台内，以小底为底面．大底面中心为顶点作一内接棱锥..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-02 07:30:00

试题原文

如图，在正四棱台内，以小底为底面．大底面中心为顶点作一内接棱锥．已知棱台小底面边长为b，大底面边长为a，并且棱台的侧面积与内接棱锥的侧面面积相等，求这个棱锥的高，并指出有解的条件．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：柱、锥、台、球的结构特征

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

如图，过高OO₁和AD的中点E作棱锥和棱台的截面，得棱台的斜高EE₁和棱锥的斜高为EO₁，设OO₁=h，∴S锥侧=

1

2

?4b?EO1=2bEO1
S台侧=

1

2

(4a+4b)?EE1=2(a+b)?EE1， ∴2bEO1=2(a+b) EE1 ①
∵OO₁E₁E是直角梯形，其中OE=

b

2

，O1E1=

a

2

∴根据勾股定理得，EE12=h2+(

a

2

-

b

2

)2，EO12=h2+(

b

2

)2 ②
①式两边平方，把②代入得：b2(h2+

b2

4

)=(a+b)2[h2+(

a

2

-

b

2

)2]
解得h2=

a2(2b2-a2)

4a(a+2b)

，即h=

1

2

a(2b2-a2)

a+2b

显然，由于a＞0，b＞0，所以此题当且仅当a＜

2

b时才有解．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，在正四棱台内，以小底为底面．大底面中心为顶点作一内接棱锥..”的主要目的是检查您对于考点“高中柱、锥、台、球的结构特征”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中柱、锥、台、球的结构特征”。

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