已知F1（-1，0），F2（1，0）为平面内的两个定点，动点P满足|PF1|+|PF2|=22，记点P的轨迹为曲线Γ．（Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）设点O为坐标原点，点A，B，C是曲线Γ上的不同三点，且OA+O-数学试题及答案

1、试题题目：已知F1（-1，0），F2（1，0）为平面内的两个定点，动点P满足|PF1|+|P..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-05 07:30:00

试题原文

已知F₁（-1，0），F₂（1，0）为平面内的两个定点，动点P满足|PF1|+|PF2|=2

2

，记点P的轨迹为曲线Γ．
（Ⅰ）求曲线Γ的方程；
（Ⅱ）设点O为坐标原点，点A，B，C是曲线Γ上的不同三点，且

OA

+

OB

+

OC

=

0

．
（ⅰ）试探究：直线AB与OC的斜率之积是否为定值？证明你的结论；
（ⅱ）当直线AB过点F₁时，求直线AB、OC与x轴所围成的三角形的面积．

试题来源：福建模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由条件可知，点P到两定点F₁（1，0），F₂（-1，0）的距离之和为定值2

2

，
所以点P的轨迹是以F₁（1，0），F₂（-1，0）为焦点的椭圆．…（2分）
又a=

2

，c=1，所以b=1，
故所求方程为

x2

2

+y2=1．…（4分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）．
由

OA

+

OB

+

OC

=

0

，得x₁+x₂+x₃=0，y₁+y₂+y₃=0．…（5分）
（ⅰ）可设直线AB的方程为y=kx+n（k≠0），
代入x²+2y²=2并整理得，（1+2k²）x²+4knx+2n²-2=0，
依题意，△＞0，则 x1+x2=-

4kn

1+2k2

，y1+y2=k(x1+x2)+2n=

2n

1+2k2

，
从而可得点C的坐标为(

4kn

1+2k2

，-

2n

1+2k2

)，kOC=-

1

2k

．
因为kAB?kOC=-

1

2

，所以直线AB与OC的斜率之积为定值．…（8分）
（ⅱ）若AB⊥x轴时，A(-1，

2

)，B(-1，-

2

)，由

OA

+

OB

+

OC

=

0

，
得点C（2，0），所以点C不在椭圆Γ上，不合题意．
因此直线AB的斜率存在．…（9分）
由（ⅰ）可知，当直线AB过点F₁时，有n=k，点C的坐标为(

4k2

1+2k2

，-

2k

1+2k2

)．
代入x²+2y²=2得，

16k4

(1+2k2)2

+

8k2

(1+2k2)2

=2，即4k²=1+2k²，
所以k=±

2

． …（11分）
（1）当k=

2

时，由（ⅰ）知，k?kOC=-

1

2

，从而kOC=-

2

．
故AB、OC及x轴所围成三角形为等腰三角形，其底边长为1，且底边上的高h=

1

2

×

2

=

2

4

，所求等腰三角形的面积S=

1

2

×1×

2

4

=

2

8

．
（2）当k=-

2

时，又由（ⅰ）知，k?kOC=-

1

2

，从而kOC=

2

，
同理可求直线AB、OC与x轴所围成的三角形的面积为

2

8

．
综合（1）（2），直线AB、OC与x轴所围成的三角形的面积为

2

8

．…（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知F1（-1，0），F2（1，0）为平面内的两个定点，动点P满足|PF1|+|P..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：