已知椭圆C1：y216+x24=1，椭圆C2以C1的短轴为长轴，且与C1有相同的离心率．（I）求椭圆C2的方程；（II）设直线l与椭圆C2相交于不同的两点A、B，已知A点的坐标为（-2，0），点Q（0，y0-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆C1：y216+x24=1，椭圆C2以C1的短轴为长轴，且与C1有相同的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-06 07:30:00

试题原文

已知椭圆C₁：

y2

16

+

x2

4

=1，椭圆C₂以C₁的短轴为长轴，且与C₁有相同的离心率．
（I）求椭圆C₂的方程；
（II）设直线l与椭圆C₂相交于不同的两点A、B，已知A点的坐标为（-2，0），点Q（0，y₀）在线段AB的垂直平分线上，且

QA

?

QB

=4，求直线l的方程．

试题来源：泰安一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）设椭圆C₂的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
∵椭圆C₁：

y2

16

+

x2

4

=1，椭圆C₂以C₁的短轴为长轴，且与C₁有相同的离心率
∴a=2，e=

3

2

∴c=

3

∴b=

a2-c2

=1
∴椭圆C₂的方程为

x2

4

+y2=1；
（II）点A的坐标是（-2，0）．
设点B的坐标为（x₁，y₁），直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+2）．
与椭圆C₂的方程联立，整理得（1+4k²）x²+16k²x+（16k²-4）=0
∴-2x₁=

16k2-4

1+4k2

，得x₁=

-8k2+2

1+4k2

，从而y₁=

4k

1+4k2

设线段AB的中点为M，得到M的坐标为（-

8k2

1+4k2

，

2k

1+4k2

）
①当k=0时，点B的坐标是（2，0），线段AB的垂直平分线为y轴，
∴

QA

=（-2，-y₀），

QB

=（2，-y₀）．
由

QA

?

QB

=4得y₀=±2

2

，∴l的方程为y=0；
②当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为y-

2k

1+4k2

=-

1

k

(x+

8k2

1+4k2

)
令x=0，解得y₀=-

6k

1+4k2

∴

QA

=（-2，-y₀），

QB

=（x₁，y₁-y₀）．
∴

QA

?

QB

=（-2，-y₀）?（x₁，y₁-y₀）=-2?

-8k2+2

1+4k2

+

6k

1+4k2

（

4k

1+4k2

+

6k

1+4k2

）=4
∴7k²=2
∴k=±

14

7

，
∴l的方程为y=±

14

7

(x+2)．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆C1：y216+x24=1，椭圆C2以C1的短轴为长轴，且与C1有相同的..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：