已知中心在原点的椭圆的一个焦点为（0，2），且过点A(1，2)，过A作倾斜角互补的两条直线，它们与椭圆的另一个交点分别为点B和点C．（1）求椭圆的标准方程；（2）求证：直线BC的斜率为-数学试题及答案

1、试题题目：已知中心在原点的椭圆的一个焦点为（0，2），且过点A(1，2)，过A作..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

已知中心在原点的椭圆的一个焦点为（0，

2

），且过点A(1，

2

)，过A作倾斜角互补的两条直线，它们与椭圆的另一个交点分别为点B和点C．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求证：直线BC的斜率为定值，并求这个定值．
（3）求三角形ABC的面积最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意可知c=

2

，由椭圆的定义求出a=2，所以b=

2

，所以椭圆的方程为：

x2

2

+

y2

4

=1
（2）由题意得设AB的斜率为k，则AC的斜率为-k
所以

y-

2

=k(x-1)

2x2+y2=4

代入得x1+x2=

2k2-2

2

k

2+k2

，
又∵x₁=1∴xB=

k2-2

2

k-2

k2+2

同理xC=

k2+2

2

k-2

k2+2

，kBC=

yB-yC

xB-xC

=

kxB-k+

2

+kxC-k-

2

xB-xC

=

2

为定值
（3）设BC方程为y=

2

x+m

y=

2

x+m

x2

2

+

y2

4

=1

得4x2+2

2

mx+m2-4=0
得|BC|=

3

.

4-

1

2

m2

A到BC的距离为d=

|m|

3

所以S△=

1

2

|BC|?d=

1

2

|m|

4-

1

2

m2

=

1

2

m2(4-

1

2

m2)

=

2

4

m2(8-m2)

≤

2

当m²=8-m²时，即m²=4时“=”成立，此时△＞0成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知中心在原点的椭圆的一个焦点为（0，2），且过点A(1，2)，过A作..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：