已知函数f(x)=6-32a+(3-a)sinx-12acos2x，（Ⅰ）若a＞0，x∈[0，π2]，求f（x）的最小值；（Ⅱ）若x∈[0，2π）时，f（x）的图象与x轴有四个不同的交点，求实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=6-32a+(3-a)sinx-12acos2x，（Ⅰ）若..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-10 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=6-

3

2

a+(3-a)sinx-

1

2

acos2x，
（Ⅰ）若a＞0，x∈[0，

π

2

]，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若x∈[0，2π）时，f（x）的图象与x轴有四个不同的交点，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：正弦、余弦函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）函数f(x)=6-

3

2

a+(3-a)sinx-

1

2

acos2x
=asin²x+（3-a）sinx-2a+6
令sinx=t，则有t∈[0，1]，
所以y=at²+（3-a）t-2a+6，t∈[0，1]，
对称轴t=

1

2

-

3

2a

当0＜a＜3时，y=at²+（3-a）t-2a+6在[0，1]递增，
所以当t=0时，函数最小值为-2a+6；
当a≥3时，t=

1

2

-

3

2a

∈[0，1]，，所以当t=

1

2

-

3

2a

函数有最小值

9

4a

-

7a

4

-

3

2

总之，函数的最小值为
当0＜a＜3时，最小值为-2a+6；
当a≥3时，最小值

9

4a

-

7a

4

-

3

2

．
（II）因为x∈[0，2π）时，f（x）的图象与x轴有四个不同的交点，
等价于y=at²+（3-a）t-2a+6在[-1，1]有两个不同的解，
所以

-1≤

1

2

-

3

2a

≤1

3≥0

9-2a≥0

，
解得1≤a≤

9

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=6-32a+(3-a)sinx-12acos2x，（Ⅰ）若..”的主要目的是检查您对于考点“高中正弦、余弦函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中正弦、余弦函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等）”。

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