在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，其前n项Sn满足Sn2=an(Sn-12)．（I）求an；（II）设bn=Sn2n+1，求数列{bn}的前n项和Tn；（III）是否存在自然数m，使得对任意n∈N*，都有Tn＞14（m-8）成立-数学试题及答案

1、试题题目：在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，其前n项Sn满足Sn2=an(Sn-12)．（I）求..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-06 07:30:00

试题原文

在数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，其前n项S_n满足S_n²=a_n(Sn-

1

2

)．
（I）求a_n；
（II）设b_n=

Sn

2n+1

，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（III）是否存在自然数m，使得对任意n∈N^*，都有T_n＞

1

4

（m-8）成立？若存在，求出m的最大值；若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的通项公式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）∵S_n²=a_n（S_n-

1

2

）（n≥2）
∴S_n²=（S_n-S_n-1）（S_n-

1

2

）
∴2S_nS_n-1=S_n-1-S_n
∴2=

1

Sn

-

1

Sn-1

…（2分）
又a₁=1，

1

S1

=1
∴数列{

1

Sn

}为首项为1，公差为2的等差数列．…（3分）
∴

1

Sn

=1+（n-1）?2=2n-1
∴S_n=

1

2n-1

．
∴a_n=

1，(n=1)

-

2

(2n-1)(2n-3)

，(n≥2)

…（5分）
（II）b_n=

Sn

2n+1

=

1

(2n+1)(2n-1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

）
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-3

-

1

2n-1

)+(

1

2n-1

-

1

2n+1

）]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

…（8分）
（III）令T（x）=

x

2x+1

，则T（x）在[1，+∞）上是增函数
∴当n=1时T_n=

n

2n+1

(n∈N*)取得最小值．T1=

1

3

…（10分）
由题意可知，要使得对任意n∈N^*，都有T_n＞

1

4

（m-8）成立，
只要T₁＞

1

4

（m-8）即可．
∴

1

3

＞

1

4

（m-8），解之得m＜

28

3

又∵m∈n，∴m=9．…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，其前n项Sn满足Sn2=an(Sn-12)．（I）求..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的通项公式”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：