已知函数f（x）=（x-1）2，数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q（q∈R且q≠1）的等比数列．若a1=f（d-1），a3=f（d+1），b1=f（q-1），b3=f（q+1）（1）求数列{an}，{bn}的通项公式-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=（x-1）2，数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-06 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=（x-1）²，数列{a_n}是公差为d的等差数列，数列{b_n}是公比为q（q∈R且q≠1）的等比数列．若a₁=f（d-1），a₃=f（d+1），b₁=f（q-1），b₃=f（q+1）
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设数列{C_n}对任意正整数n均有

C1

b1

+

C2

b2

+…+

Cn

bn

=an+1成立，求{C_n}的通项；
（3）试比较

3bn-1

3bn+1

与

an+1

an+2

的大小，并证明你的结论．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的通项公式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵数列{a_n}是公差为d的等差数列a₁=（d-2）²，a₃=d²∴a₃-a₁=4d-4=2d∴d=2，a₁=0∴a_n=2n-2…（2分）
同理：b_n=3^n-1…（4分）
（2）∵

C1

b1

+

C2

b2

+…+

Cn

bn

=an+1
∴

C1

b1

+

C2

b2

+…+

Cn-1

bn-1

=an(n≥2)
以上两式相减：

Cn

bn

=an+1-an(n≥2)
∴

Cn

bn

=2(n≥2)?Cn=2bn(n≥2)…（6分）
∴C_n=2?3^n-1（n≥2），经检验，n=1仍然成立
∴C_n=2?3^n-1…（8分）
（3）

3bn-1

3bn+1

=

3n-1

3n+1

；

an+1

an+2

=

n

n+1

∴

3bn-1

3bn+1

-

an+1

an+2

=

3n-1

3n+1

-

n

n+1

=

3n-2n-1

(3n+1)?(n+1)

…（9分）
当n=1时，

3bn-1

3bn+1

=

an+1

an+2

当n≥2时，3ⁿ=（1+2）ⁿ=C_n⁰2⁰+C_n¹2¹+…+C_nⁿ2ⁿ＞2n+1
∴

3bn-1

3bn+1

＞

an+1

an+2

综上所述：n=1时，

3bn-1

3bn+1

=

an+1

an+2

，
n≥2时，

3bn-1

3bn+1

＞

an+1

an+2

…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=（x-1）2，数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的通项公式”。

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